让$\gamma_t = w + t(v-w)$. 我们有

$$f(v) - f(w) = f(\gamma_1) - f(\gamma_0) = \int_0^1 (f \circ \gamma)’(t)dt \\ = \int_0^1 \langle \nabla f(\gamma_t), \gamma’(t)\rangle dt = \int_0^1 \langle \nabla f(\gamma_t), v-w\rangle dt \\ = \langle\nabla f(w), v-w\rangle + \int_0^1 \langle \nabla f(\gamma_t) - \nabla f(w), v-w\rangle dt.$$ 作者：柯西-施瓦茨和你的不等式 $$\langle \nabla f(\gamma_t) - \nabla f(w), v-w\rangle \leq \lVert \nabla f(\gamma_t) - \nabla f(w) \rVert \lVert v-w\rVert \\ \leq \beta \lVert \gamma_t - w\rVert \lVert v-w\rVert = \beta \, t \, \lVert v-w\rVert^2$$ 以便 $$\int_0^1 \langle \nabla f(\gamma_t) - \nabla f(w), v-w\rangle dt \leq \beta \, \lVert v-w\rVert^2 \int_0^1 t dt = \frac \beta 2 \lVert v-w\rVert^2$$ 这证明了你的不平等。

您是否尝试过使用积分中值定理？你可以关联$f(v)-f(w)$到$\nabla f$并使用一些简单的估计来得到类似上面的东西。