与您在问题的第一句话中所写的相反，您的问题不是整数线性规划 (ILP) 的实例，不能被表述为 ILP 问题。

如果您使用$L_1$范数（而不是$L_2$范数），则可以将其表述为 ILP 问题。您将引入其他变量$t_1,\dots,t_n$，添加线性不等式

其中表示个系数，然后最小化目标函数。$(\cdots)_j$$j$$t_1+\dots+t_n$

使用范数，这不再是 ILP 问题。它是整数二次规划的一个实例。您可以尝试为混合整数二次规划 (MIQP) 应用现成的求解器。不过，MIQP 总体来说还是挺难的，不知道会不会有效。$L_2$

作为另一种选择，您可以将 MIQP 实例放松为二次规划或半定性规划的实例，求解实数解，然后将每个实数舍入到最接近的整数（或使用随机舍入），并希望得到的结果解决方案“相当不错”。这在计算上可能更可行（因为实数上的二次规划/半定性规划比 MIQP 更容易），但不能保证得到的解决方案的质量；它可能是任意坏的。

您的问题似乎与格中的最近向量问题（CVP）有关，这被认为是困难的。在这里，您有系数为 0 或 1（而不是任意整数）的附加约束。如果不太大，您也许可以使用现有算法，例如LLL 基础缩减。我不知道这是否会奏效。$n$

您可以重新参数化为，其中是一个常数，因此，然后继续使用您最喜欢的优化方法来查找，然后从那里。$x_i$$x_i = sigmoid(\alpha \cdot z_i), z_i \in \mathbb{R}$$\alpha$$\alpha \gg 1$$z_i$$x_i$

当然，这可能会出现问题，因为不再受限于，但可能足以满足您的用例。$x_i$$\{0, 1\}$

另一种选择可能是将您的问题建模为贝叶斯线性回归，其中是遵循伯努利分布的随机变量，概率，即和。$x_i$$p_i$$x_i \sim Bernoulli (p_i)$$v \sim \mathcal{N}(x^T b, \sigma^2)$

的后验分布将使您能够告诉的值最有可能与观察到的数据相符。这些后验分布可以通过MCMC或变分推理来推断。$p_i$$x_i$

在 Python 中实现贝叶斯模型的三个主要框架是pymc3（示例）、edward（示例）和pystan（示例）。它们三个允许直接实现如上公式的贝叶斯线性回归。