这个“随机变量”类似于在整个实线上有一个平坦先验的想法（你的第二个例子）。

为了证明对于所有和常数使得，我们使用 -additive 属性随机变量：不相交事件的可数并集的概率等于事件概率的（可能是无限的）总和。因此，如果，则概率，因为它是可数个零的总和。如果，则。中取值的适当随机变量必须满足$X$$P(X=q)=c$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$$c$$\sigma$$c=0$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=0$$c>0$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=\infty$$\mathbb{Q}\cap[0,1]$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=1$，所以不存在这样的随机变量。

正如您可能已经知道的那样，这里的关键是，如果空间由有限多个点组成，那么我们可以使用并且总和没有问题，如果空间有无数个点，您可以有并且在空间上积分时不会违反 -加性，因为它是关于可数事物的陈述。但是，当您想要在可数无限集上均匀分布时，您会遇到问题。$c>0$$c=0$$\sigma$

但是，在贝叶斯先验的上下文中，如果您愿意使用，您当然可以只说 for all不恰当的先验。$P(X=q)\propto 1$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

一个更积极的事实如下。
如果您放弃概率测度是可数加法的要求，而只要求它是有限加法的（只是为了这个问题），那么对于有理数，答案是“是”。
有理数是一个加法群，因为一个有理数可以相加，有一个中性元素，零，并且任何都有一个加法逆。 现在，可以为有理数配备离散拓扑，使它们成为一个离散群。（这很重要，因为在其他情况下，不这样做并在它们上放置另一个拓扑会更方便。）$z\in\mathbb{Q}$$-z\in\mathbb{Q}$

作为离散群，它们甚至是可数离散群，因为有理数只有可数个。
此外，它们是一个阿贝尔群，因为对于任何一对有理数， 现在，被视为可数离散群的有理数是一个服从群。请参阅此处了解适合离散组的定义。这里表明每个可数阿贝尔离散群都是服从的。特别是，这适用于有理数组。 因此，根据可服从离散群的定义，存在平移不变的有理数$z +y =y+z$

$\mu$$\mu(z + A) = \mu(A)$对于任何子集和任何有理数。 该属性包含定义“均匀性”的直观方式。必然在所有有限子集上消失：对于所有。 如果您寻求随机变量而不是概率度量，则只需考虑概率空间上的恒等函数。这给出了这样一个所需的随机变量。 因此，如果您稍微放宽对概率测度的定义，您最终会得到有理数的肯定答案。 或许，$A\subset\mathbb{Q}$$z\in\mathbb{Q}$

$\mu$$\mu(\{z\})=0$$z\in\mathbb{Q}$
$(\mathbb{Q}, \mu)$

$\mu$似乎有点违反直觉。考虑到平移不变性的直接结果是所有下限为偶数的有理数的测度为二分之一，可以更好地了解同样，奇数层的量度为二分之一，以此类推。 我们刚刚证明存在的那个度量也必然会在所有有界子集上消失（正如可以用类似的论点展示的那样），特别是在单位间隔上。 因此，不会立即给出单位区间内有理数的答案。有人会认为，对于单位区间中的有理数，而不是所有有理数，答案更容易给出，但似乎恰恰相反。$\mu$
$\mu$
$\mu$
（然而，似乎也可以对单位区间内具有相似性质的有理数进行概率测度，但答案将需要对“均匀性”进行更精确的定义——也许类似于“翻译——每当平移没有超出单位区间时不变”。）
更新：通过考虑我们构建的有理数的前推度量，您可以立即获得在这个意义上统一的单位区间有理数的度量，沿着从有理数到单位区间有理数的映射，将每个有理数映射到其小数部分。
因此，在放宽对有限可加性的要求后，您在提到的两种情况下都获得了此类度量。