在 math.se 的相关帖子中，回答者认为渐近无偏性的定义是。$\lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0$

直觉上，我不同意：“无偏性”是我们首先学习的与分布（有限样本）相关的术语。考虑到与渐近分布相关的“渐近无偏性”似乎更自然。事实上，这就是Lehmann & Casella 在“Theory of Point Estimation (1998, 2nd ed) do, p. 438 Definition 2.1 (simplified notation) 中所做的：

$$\text{If} \;\;\;k_n(\hat \theta_n - \theta )\to_d H$$

对于一些序列和一些随机变量的期望值为零，则估计量$k_n$$H$$\hat \theta_n$$H$

鉴于这个定义，我们可以认为一致性意味着渐近无偏性，因为

$$\hat \theta_n \to_{p}\theta \implies \hat \theta_n - \theta \to_{p}0 \implies \hat \theta_n - \theta \to_{d}0$$

...并且等于零的退化分布具有等于零的期望值（这里的序列是一个序列）。$k_n$

但我怀疑这并不是真的有用，它只是允许退化随机变量的渐近无偏性定义的副产品。本质上，我们想知道，如果我们有一个包含收敛到非退化 rv 的估计量的表达式，一致性是否仍然意味着渐近无偏。

在本书的前面（第 431 页定义 1.2），作者将属性 称为“限制中的无偏性”，它并没有符合渐近无偏性。$\lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0$

一致性发生在任何时候——

• 估计量在极限中是无偏的，并且
• 估计方差的序列变为零（这意味着首先存在方差）。

这些构成了充分但非必要的条件。

对于与非零方差的一致性相关的复杂性（有点令人难以置信），请访问这篇文章。