在某些情况下，完整多维模型的 Jeffreys 先验通常被认为是不充分的，例如以下情况：

$$y_i=\mu + \varepsilon_i \, ,$$ （在哪里$\varepsilon \sim N(0,\sigma^2)$， 和$\mu$和$\sigma$未知）在哪里更喜欢以下先验（而不是完整的杰弗里斯先验）$\pi(\mu,\sigma)\propto \sigma^{-2}$): $$p(\mu,\sigma) = \pi(\mu) \cdot \pi(\sigma) \propto \sigma^{-1}\, ,$$ 在哪里$\pi(\mu)$是保留时获得的 Jeffreys 先验$\sigma$固定的（同样对于$p(\sigma)$）。该先验与治疗时的参考先验一致$\sigma$和$\mu$在不同的组中。

问题 1：为什么将它们视为单独的组比将它们放在同一组中更有意义（如果我是正确的（？），这将导致全维 Jeffreys 先验，请参阅 [1]）？

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然后考虑以下情况：

$$y_i=g(x_i,\mathbf{\theta}) +\varepsilon_i\, ,$$ 在哪里$\theta \in \mathbb{R}^n$未知，$\varepsilon_i \sim N(0,\sigma^2)$,$\sigma$是未知的，并且$g$是一个已知的非线性函数。在这种情况下，考虑以下分解是很有诱惑力的，根据我的经验，有时会很有成效： $$p(\sigma,\theta)=\pi(\sigma) \pi(\theta) \, ,$$ 在哪里$\pi(\sigma)$和$\pi(\theta)$与前面的比例位置示例一样，是两个子模型的 Jeffreys 先验。

问题 2：在这种情况下，我们能否谈谈派生先验的最优性（从信息论的角度）$p(\sigma,\theta)$?

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[1] 来自https://theses.lib.vt.edu/theses/available/etd-042299-095037/unrestricted/etd.pdf：

最后，我们注意到 Jeffreys 的先验是参考先验的一个特例。具体来说，Jeffreys 的先验对应于参考先验，其中所有模型参数都在一个组中处理。