不，拿$X$统一开$[-1,1]$和$a=0$. 然后$\Pr(X < a ) = 1/2$. 另一方面$\Pr(X^2<a^2) = 0$.

这仅在$f$是单调递增的。如果$f$是单调递减的，那么$P(f(X)\leq f(a)) = P(X \geq a)$. 例如，如果$f(x) = -x$, X 是一个正常的掷骰子, 那么$P(X \leq 5) = \frac56$但$P(-X \leq -5) = \frac16$. 如果$f$在增加和减少之间切换，那么它就更复杂了。

请注意，还有一个微不足道的情况$f(x) \equiv 0$, 其中$P(f(X) \leq a)$等于 1 如果$a \geq 0$否则为 0。

这与询问有关：

是$X \leq a$对于每个$f(X) \leq f(a)$?

违反的方法可能有很多$f(X) \leq f(a)$尽管$X \leq a$. 但是，在所有情况下，它都需要$f$为非单调函数。