简短的版本是 Beta 分布可以理解为表示概率的分布，即它表示当我们不知道该概率是什么时概率的所有可能值。这是我最喜欢的对此的直观解释：

任何关注棒球的人都熟悉击球率——简单来说，就是一名球员获得基本命中的次数除以他击球的次数（所以它只是一个介于0和之间的百分比1）。.266通常被认为是平均击球率，而.300被认为是出色的击球率。

想象一下，我们有一个棒球运动员，我们想预测他整个赛季的平均击球率。你可能会说我们可以只使用他迄今为止的击球率——但这在赛季开始时将是一个非常糟糕的衡量标准！如果一个球员上场击球一次并得到一个单打，他的击球率是短暂的1.000，而如果他三振出局，他的击球率是0.000。如果你连续击球五六次，情况也不会好多少——你可能会得到一个幸运的连胜并得到一个平均值1.000，或者一个不幸的连胜并得到一个平均值0，这两者都不能很好地预测如何你会在那个赛季击球。

为什么你在前几次安打中的击球率不能很好地预测你最终的击球率？当一名球员的第一次击球是三振出局时，为什么没有人预测他整个赛季都不会被击中？因为我们是带着事先的期望进入的。我们知道，在历史上，一个赛季的大多数打击率都徘徊在.215和之间.360，双方都有一些极为罕见的例外。我们知道，如果一名球员在开始时连续获得几次三振出局，这可能表明他最终的表现会比平均水平差一些，但我们知道他可能不会偏离这个范围。

考虑到我们的平均击球率问题，它可以用二项分布（一系列成功和失败）来表示，表示这些先验期望（我们在统计学中称之为先验）的最佳方法是使用 Beta 分布——它是说，在我们看到球员第一次挥杆之前，我们大致预计他的击球率会是这样。Beta 分布的域是(0, 1)，就像概率一样，所以我们已经知道我们走在正确的轨道上，但是 Beta 对这项任务的适用性远不止于此。

我们预计球员整个赛季的打击率最有.27可能.21在.35. 这可以用带有参数和的 Beta 分布来表示：$\alpha=81$$\beta=219$

curve(dbeta(x, 81, 219))

我想出这些参数有两个原因：

• 平均值为$\frac{\alpha}{\alpha+\beta}=\frac{81}{81+219}=.270$
• 正如您在图中看到的那样，这种分布几乎完全位于(.2, .35)击球平均值的合理范围内。

你问过 x 轴在 beta 分布密度图中代表什么——这里它代表他的击球率。因此请注意，在这种情况下，不仅 y 轴是概率（或更准确地说是概率密度），而且 x 轴也是（毕竟击球率只是命中的概率）！Beta 分布表示概率的概率分布。

但这就是 Beta 发行版如此合适的原因。想象一下玩家被击中。他本赛季的记录是现在1 hit; 1 at bat。然后我们必须更新我们的概率——我们希望将整个曲线移动一点以反映我们的新信息。虽然证明这一点的数学有点复杂（这里显示），但结果非常简单。新的 Beta 发行版将是：

$\mbox{Beta}(\alpha_0+\mbox{hits}, \beta_0+\mbox{misses})$

其中和是我们开始使用的参数，即 81 和 219。因此，在这种情况下， 增加了 1（他的一击），而根本没有增加（还没有未命中） ）。这意味着我们的新发行版是，或者：$\alpha_0$$\beta_0$$\alpha$$\beta$$\mbox{Beta}(81+1, 219)$

curve(dbeta(x, 82, 219))

请注意，它几乎没有变化——这种变化确实是肉眼看不见的！（那是因为一击并不真正意味着什么）。

然而，球员在整个赛季中击球次数越多，曲线就越会移动以适应新的证据，而且基于我们有更多证据的事实，曲线会越窄。假设在赛季中途他已经击球 300 次，其中有 100 次击球。新的分布将是，或者：$\mbox{Beta}(81+100, 219+200)$

curve(dbeta(x, 81+100, 219+200))

请注意，曲线现在比以前更细并且向右移动（更高的击球率）——我们对球员的击球率有了更好的了解。

这个公式最有趣的输出之一是生成的 Beta 分布的预期值，这基本上是您的新估计。回想一下，Beta 分布的期望值为。因此，在 300 次实际击球命中 100 次后，新的 Beta 分布的期望值为 - 注意它低于天真的估计的，但高于您在本赛季开始时的估计值 ($\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$$\frac{81+100}{81+100+219+200}=.303$$\frac{100}{100+200}=.333$$\frac{81}{81+219}=.270$）。您可能会注意到，这个公式相当于在球员的安打数和非安打数上加上“领先优势”——您说的是“在赛季中以 81 次安打和 219 次非安打的记录让他开始” ）。

因此，Beta 分布最适合表示概率的概率分布：我们事先不知道概率是多少，但我们有一些合理的猜测。

Beta 分布用于对范围有限的事物进行建模，例如 0 到 1。

例如，只有两个结果（如成功和失败）的实验中成功的概率。如果您进行了有限数量的实验，并且有些实验是成功的，那么您可以通过 beta 发行版来表示所告诉您的内容。

另一个例子是订单统计。例如，如果你生成几个（比如 4 个）均匀的 0,1 随机数，并对它们进行排序，那么第三个的分布是什么？

我使用它们通过抽样来理解软件性能诊断。如果你随机停止一个程序次，并且其中次你看到它在做一些你实际上可以摆脱的事情，并且，那么这样做节省的时间分数由，并且加速因子具有BetaPrime分布。$n$$s$$s>1$$Beta(s+1, (n-s)+1)$

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上独立均匀分布的随机样本的顺序统计量。$(0,1)$

准确地说，让，，是上具有均匀分布。用 , ,的顺序统计， , ,的值进行排序来定义。特别是和。然后可以证明对于每个。$U_1$$\ldots$$U_n$$n$$(0,1)$$U_{(1)}$$\ldots$$U_{(n)}$$(U_1, \ldots, U_n)$$U_1$$\ldots$$U_n$$U_{(1)}=\min(U_i)$$U_{(n)}=\max(U_i)$$U_{(k)} \sim \textrm{Beta}(k, n+1-k)$$k=1,\ldots,n$

这个结果表明 Beta 分布自然而然地出现在数学中，并且在数学中有一些有趣的应用。

有两个主要动机：

首先，贝塔分布在伯努利分布之前是共轭的。这意味着，如果您有一个未知概率，例如您通过重复掷硬币估计的硬币偏差，那么由一系列硬币翻转引起的未知偏差的可能性是 beta 分布的。

其次，贝塔分布是指数族的一个结果是，它是一组足够统计量的最大熵分布。在 beta 分布的情况下，这些统计数据是中的和。这意味着，如果您只保留一组样本的这些充分统计数据的平均测量值，那么您可以对样本分布做出的最小假设是它是 beta 分布的。$\log(x)$$\log(1-x)$$x$$[0,1]$$x_1, \dots, x_n$

Beta 分布对于一般对 [0,1] 上的事物进行建模并不是特别的，因为许多分布可以截断到该支持并且在许多情况下更适用。