正如本指出的那样，你犯了一个代数错误，结果是正确的。这个过程称为二项式细化，如果您搜索该表达式，您会在已发表的文献中找到许多提及它的内容。该过程不仅适用于二项式随机变量，还适用于多项式、泊松和负二项式。假设我们有二项式、泊松或负二项式随机变量：

• $Y_1\sim {\rm Binomial}(n,q)$
• $Y_2\sim {\rm Poisson}(\lambda)$
• $Y_3\sim {\rm Negative\ Binomial}(\mu,\phi)$，即，均值$\mu$和方差$\mu+\phi\mu^2$

我们可以将这些随机变量中的每一个视为来自随机过程的计数事件。现在假设各个事件并非全部被观察到，而是被随机截取，因此平均而言$p$其中一些人通过并被观察到，而其他人则迷路了。换句话说，我们通过保留每个原始事件的概率来“稀释”随机过程$p$：

• $X_1|Y_1 \sim {\rm Binomial}(Y_1,p)$
• $X_2|Y_2 \sim {\rm Binomial}(Y_2,p)$
• $X_3|Y_3 \sim {\rm Binomial}(Y_3,p)$

产生的“细化”分布具有以下边际分布：

• $X_1 \sim {\rm Binomial}(n,pq)$
• $X_2 \sim {\rm Poisson}(p\lambda)$
• $X_3 \sim {\rm Negative\ Binomial}(p\mu,\phi)$

效果是按因子缩小分布的期望值$p$在不改变分配形式的情况下。

我自己使用的二项式细化示例是thinCountsedgeR 包 ( https://rdrr.io/bioc/edgeR/man/thinCounts.html ) 的功能，可用于生成 RNA-seq 读取计数以减少测序深度.

你的工作中有一个代数错误——因为$\mathbb{E}(Y)=nq$你应该有：

$$\begin{align} \mathbb{V}(X) &= \mathbb{E}(\mathbb{V}(X\mid Y)) + \mathbb{V}(\mathbb{E}(X\mid Y)) \\[6pt] &= \mathbb{E}(Yp(1-p)) + \mathbb{V}(pY) \\[6pt] &= p(1-p) \mathbb{E}(Y) + p^2 \mathbb{V}(Y) \\[6pt] &= n q p(1-p) + p^2 n q (1-q) \\[6pt] &= n p q [(1-p) + p (1-q)] \\[6pt] &= n p q (1 - p q), \\[6pt] \end{align}$$

匹配分布的边际方差$\text{Bin}(n,pq)$.

写和其中和。然后和具有指定的联合分布（是显而易见的，并且以为条件，我们将得到的总和），但显然$Y = \sum_i B_i$$X = \sum_i A_i B_i$$A_i \sim \text{Bernoulli}(p)$$B_i \sim \text{Bernoulli}(q)$$Y$$X$$Y$$Y$$Y$$B_i$$A_i B_i \sim \text{Bernoulli}(pq)$独立。因此$X \sim \text{Binomial}(n, pq)$勉强。