我使用重尾 Lambert W x F 分布来描述和转换细峰数据。有关更多详细信息和参考，请参阅（我的）以下帖子：

• 增加正常 rv 的峰度和偏度的变换：这显示了在变化 $\delta$ 时密度如何变化的一些说明。$\delta$.
• 这些数据的分布是什么？：如何使用它来估计模型参数和对数据进行高斯化的应用示例。

这是一个使用LambertWR包的可重现示例。

library(LambertW)
set.seed(1)
theta.tmp <- list(beta = c(2000, 400), delta = 0.2)
yy <- rLambertW(n = 100, distname = "normal", 
                theta = theta.tmp)

test_norm(yy)

## $seed
## [1] 267509
## 
## $shapiro.wilk
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  data.test
## W = 1, p-value = 0.008
## 
## 
## $shapiro.francia
## 
## 	Shapiro-Francia normality test
## 
## data:  data.test
## W = 1, p-value = 0.003
## 
## 
## $anderson.darling
## 
##  Anderson-Darling normality test
## 
## data:  data
## A = 1, p-value = 0.01

的 qqplotyy非常接近您在原始帖子中的 qqplot，并且数据确实略微呈尖峰态，峰度为 5。因此，您的数据可以通过输入 $X \sim N 的 Lambert W $\times$ 高斯分布很好地描述(2000, 400)$ 和 $\delta = 0.2$ 的尾部参数（这意味着仅存在高达 $\leq 5$ 的时刻）。$\times$ Gaussian distribution with input $X \sim N (2000, 400)$ and a tail parameter of $\delta = 0.2$ (which implies that only moments up to order $\leq 5$ exist).

现在回到你的问题：如何让这个 leptokurtic 数据再次正常？好吧，我们可以使用 MLE（或矩量法IGMM()）估计分布的参数，

mod.Lh <- MLE_LambertW(yy, distname = "normal", type = "h")
summary(mod.Lh)

## Call: MLE_LambertW(y = yy, distname = "normal", type = "h")
## Estimation method: MLE
## Input distribution: normal
## 
##  Parameter estimates:
##        Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)    
## mu     2.05e+03    4.03e+01    50.88   <2e-16 ***
## sigma  3.64e+02    4.36e+01     8.37   <2e-16 ***
## delta  1.64e-01    7.84e-02     2.09    0.037 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## -------------------------------------------------------------- 
## 
## Given these input parameter estimates the moments of the output random variable are 
##   (assuming Gaussian input): 
##  mu_y = 2052; sigma_y = 491; skewness = 0; kurtosis = 13.

然后使用双射逆变换（基于W_delta()）将数据反向转换为输入 $X$，按照设计，它应该非常接近正常值。$X$, which -- by design -- should be very close to a normal.

# get_input() handles does the right transformations automatically based on
# estimates in mod.Lh
xx <- get_input(mod.Lh)
test_norm(xx)

## $seed
## [1] 218646
## 
## $shapiro.wilk
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  data.test
## W = 1, p-value = 1
## 
## 
## $shapiro.francia
## 
## 	Shapiro-Francia normality test
## 
## data:  data.test
## W = 1, p-value = 1
## 
## 
## $anderson.darling
## 
##  Anderson-Darling normality test
## 
## data:  data
## A = 0.1, p-value = 1

瞧！

这个答案的功劳归功于@NickCox 在原始问题的评论部分中的建议。他建议我减去数据的中位数并将转换应用于偏差。例如，$\text{sign(.)}\cdot\text{abs(.)}^{\frac 1 3}$，以 $Y-\text{median}(Y)$ 作为参数。$\text{sign(.)}\cdot\text{abs(.)}^{\frac 1 3}$, with $Y-\text{median}(Y)$ as the argument.

虽然立方根变换效果不佳，但事实证明平方根和更模糊的四分之三根效果很好。

这是与原始问题中细峰变量的 QQ 图相对应的原始核密度图：

对偏差应用平方根变换后，QQ 图如下所示：

更好，但它可以更接近。

再锤一些，将四分之三根变换应用于偏差给出：

这个转换后的变量的最终核密度如下所示：

看起来离我很近。

在许多情况下，可能根本没有简单形式的单调变换会产生接近正常的结果。

例如，假设我们有一个分布，它是各种参数的对数正态分布的有限混合。对数变换会将混合的任何分量转换为正态，但转换后的数据中的正态混合会给您留下不正常的东西。

或者可能有相对不错的转换，但不是您想尝试的一种形式——如果您不知道数据的分布，您可能找不到它。例如，如果数据是伽马分布的，除非我确切地告诉您分布是什么，否则您甚至找不到确切的正态变换（当然存在）（尽管您可能会偶然发现在这个只要形状参数不太小，case 就会使其非常接近正常值）。

有无数种方法可以使数据看起来可以合理地进行转换，但在任何明显的转换列表中看起来都不是很好。

如果您可以让我们访问数据，那么我们很可能可以发现一个可行的转换 - 或者我们可以向您展示您找不到的原因。

从那里的视觉印象来看，它看起来更像是两个不同比例的法线的混合体。只有轻微的不对称迹象，你可以很容易地偶然观察到。这是一个来自具有共同平均值的两个法线混合的样本示例 - 正如您所看到的，它看起来很像您的图（但其他样本可能看起来更重或更轻 - 在这个样本大小下，顺序有很多变化均值两侧 1 sd 以外的统计数据）。

事实上，这是你和我的叠加：

$\quad\quad\quad$