我认为它首先出现在 Poisson 的“Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière Civile”（对刑事和民事案件中判决概率的研究）中。

他没有通过 PMF 定义它，而是将其定义为二项分布的限制（使用他称之为“伯努利定理”的大数定律）

在某个时刻，他获得了公式

$$P = \left(1 + \omega + \frac{\omega^2}{1 \cdot 2} + \dots + \frac{\omega^n}{1\cdot 2 \cdots n} \right) e^{-\omega}$$

对于在有成功概率试验中获得最多次成功的概率（对于 “非常大”）。$n$$\mu$$\frac{\omega}{\mu}$$\mu$

这是泊松分布的累积分布函数，参数处评估。$\omega$$n$

你可以在这里看到上面的公式第 206 页（它是法语）。

感谢@Glen-b 和@Xi'an 根据问题中的要求提供历史参考。然而，查看历史参考资料并不总是澄清一个现在熟悉的概念的好方法。古老的语言和设置可能会令人困惑，早期的讨论不会提及澄清后来出现的见解。

也许直观的见解来自比较分布和 前两个分布可以被认为是二项分布极限的指示，如而 保持不变。$\mathsf{Binom}(n=100, p = .2),$ $\mathsf{Binom}(n=1000, p = .02),$$\mathsf{Pois}(\lambda = 20).$$n \rightarrow \infty,$$\mu = \lambda = np$

k = 10:30
pb.100  = round(dbinom(k, 100, .2) ,3)
pb.1000 = round(dbinom(k, 1000, .02), 3)
p.pois =  round(dpois(k, 20), 3)
cbind(k, pb.100, pb.1000, p.pois)

       k pb.100 pb.1000 p.pois
 [1,] 10  0.003   0.006  0.006
 [2,] 11  0.007   0.010  0.011
 [3,] 12  0.013   0.017  0.018
 [4,] 13  0.022   0.027  0.027
 [5,] 14  0.034   0.038  0.039

 [6,] 15  0.048   0.051  0.052
 [7,] 16  0.064   0.065  0.065
 [8,] 17  0.079   0.076  0.076
 [9,] 18  0.091   0.085  0.084
[10,] 19  0.098   0.090  0.089

[11,] 20  0.099   0.090  0.089
[12,] 21  0.095   0.085  0.085
[13,] 22  0.085   0.078  0.077
[14,] 23  0.072   0.067  0.067
[15,] 24  0.058   0.056  0.056

[16,] 25  0.044   0.045  0.045
[17,] 26  0.032   0.034  0.034
[18,] 27  0.022   0.025  0.025
[19,] 28  0.014   0.018  0.018
[20,] 29  0.009   0.012  0.013
[21,] 30  0.005   0.008  0.008

下图的垂直分辨率约为或$0.005$$0.01.$

通过 CLT，所有三个离散分布都很好地近似为 但是绘制该密度函数会使图形混乱。$\mathsf{Norm}(\mu = 20, \sigma = \sqrt{20}).$

图的R代码：

k = 0:35
PB.100  = dbinom(k, 100, .2)
PB.1000 = dbinom(k, 1000, .02)
P.pois  = dpois(k, 20)

hdr = "PDFs of BINOM(100,.2) [blue], 
        BINOM(1000,.02) [cyan], and POIS(20)"
plot(k-.2, PB.100,, type="h", col="blue", 
      ylab="PDF", xlab="x", main=hdr)
lines(k, PB.1000, type="h", col="cyan3")
lines(k+.2, P.pois, type="h")
 abline(h=0, col="green2")