机器算法验证 - 有没有一个定理说n--√X¯- μ小号nX¯−μS趋于无穷时，分布收敛到正态？nn - 吾爱随笔录 - 问答

有没有一个定理说n--√X¯- μ小号nX¯−μS趋于无穷时，分布收敛到正态？nn

机器算法验证分布正态分布收敛中心极限定理 t分布

2022-02-28 03:36:20

令为任何具有定义均值和标准差的分布。中心极限定理表明在分布中收敛于标准正态分布。如果我们用样本标准差，是否有一个定理表明在分布中收敛于 t 分布？因为对于大 $X$ $\mu$ $\sigma$

\sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{σ}

$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$

σ

$\sigma$

S

$S$

\sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{S}

$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{S}$

n

$n$ 如果 t 分布接近正态分布，则该定理（如果存在）可以说明极限是标准正态分布。因此，在我看来，t 分布并不是很有用——它们仅在大致为正态时才有用。是这样吗？

X

$X$

被替换为时，您是否会指出包含此 CLT 证明的引用？这样的参考最好使用测度理论概念。但在这一点上，任何事情对我来说都会很棒。 $\sigma$ $S$

1个回答

要详细说明@cardinal 的评论，请考虑来自随机变量的 iid 样本，该样本具有一定的分布，以及有限矩、均值和标准偏差。定义随机变量 $n$ $X$ $\mu$ $\sigma$

Z_{n} = \sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - μ)

$Z_n = \sqrt {n}\left(\bar X_n -\mu\right)$ 基本的中心极限定理说

Z_{n} \to_{d} Z \sim N (0, σ^{2})

$Z_n \rightarrow_{d} Z \sim N(0,\sigma^2)$

现在考虑随机变量 $Y_n = \frac 1{S_n}$ 在哪里 $S_n$ 是样本标准差 $X$ .

样本是独立同分布的，因此样本矩估计一致的总体矩。所以

Y_{n} \to_{p} \frac{1}{σ}

$Y_n \rightarrow_{p} \frac 1{\sigma}$

输入@cardinal：Slutsky 的定理（或引理）说，除其他外，

{Z_{n} \to_{d} Z, Y_{n} \to_{p} c} \Rightarrow Z_{n} Y_{n} \to_{d} c Z

$\{Z_n \rightarrow_{d} Z, Y_n\rightarrow_{p} c\} \Rightarrow Z_nY_n\rightarrow_{d} cZ$ 在哪里

c

$c$ 是一个常数。这是我们的情况

Z_{n} Y_{n} = \sqrt{n} \frac{\bar{X_{n}} - μ}{S_{n}} \to_{d} \frac{1}{σ} Z \sim N (0, 1)

$Z_nY_n = \sqrt{n}\frac{\bar{X_n} - \mu}{S_n}\rightarrow_{d} \frac 1{\sigma}Z \sim N(0,1)$

至于学生分布的用处，我只提一下，在其与统计检验相关的“传统用途”中，当样本量非常小时（我们仍然面临这种情况）时，它仍然是必不可少的，而且它具有被广泛应用于具有（条件）异方差的自回归序列模型，特别是在此类数据频繁出现的金融计量经济学的背景下。

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