问题来了：苹果太大了，它违反了大数定律。

该定律也被称为黄金定理，其证明归功于 17 世纪的瑞士数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli），该定律指出，在大量结果样本中，变量将恢复为平均值。就最大的公司而言，这表明随着这些公司的规模越来越大，高收益增长和股价的快速上涨将放缓。

这个乱七八糟的东西，其实是指三种不同的现象！

1. （各种）大数定律是概率论的基础，用于描述有理由期望大样本能够提供关于被抽样的过程或总体的越来越好的信息的情况。事实上，雅各布·伯努利是第一个认识到需要陈述和证明这样一个定理的人，该定理出现在 1713 年他死后的Ars Conjectandi中（由侄子 Nicholas Bernoulli 编辑）。

   对于苹果的增长，没有明显的有效应用这样的法律。

2. 1880 年代，弗朗西斯·高尔顿首先认识到向均值的回归。然而，它在业务分析师中经常被低估。例如，在 1933 年初（大萧条时期），Horace Secrist 发表了他的代表作《商业中平庸的胜利》。 在其中，他大量检查了业务时间序列，并在每种情况下都发现了向均值回归的证据。但是，没有认识到这是一个不可避免的数学问题现象，他坚称自己发现了一个商业发展的基本道理！这种将纯数学模式误认为是某种潜在力量或趋势的结果的谬误（现在通常称为“回归谬误”）让人想起引用的段落。

   （值得注意的是，Secrist 是一位杰出的统计学家，是当时出版的最流行的统计教科书之一的作者。在 JSTOR 上，您可以找到Harold Hotelling 于 1933 年末在 JASA 上发表的对Triumph的撕裂评论。在霍特林在随后与 Secrist 的信件往来中写道

   我的评论……主要是为了警告读者不要得出结论说商业公司有变得平庸的趋势……通过昂贵且长期的数值研究来“证明”这样的数学结果……类似于证明乘法通过将大象排列成行和列，然后对许多其他种类的动物做同样的事情。表演虽然可能很有趣，并具有一定的教学价值，但对动物学或数学都不是重要的贡献。

   [JASA 卷。29, No. 186（1934 年 6 月），第 198 和 199 页]。）

   纽约时报的文章似乎对苹果的商业数据犯了同样的错误。

3. 但是，如果我们继续阅读本文，我们很快就会发现作者的意图：

   如果苹果的股价在未来十年内每年增长 20%，远低于目前的迅猛速度，那么到 2022 年，其 5000 亿美元的市值将超过 3万亿美元。

   当然，这是关于指数增长外推的陈述。因此，它包含马尔萨斯人口预测的回声。然而，外推的危害并不局限于指数增长。马克吐温（塞缪尔克莱门茨）在《密西西比河上的生活》（1883 年，第 17 章）中嘲笑肆无忌惮的推断者：

   现在，如果我想成为那些笨重的科学人中的一员，并“继续”证明……通过近年来发生的事情，在遥远的将来会发生什么，这里有多大的机会！...请注意：--

   在一百七十六年的时间里，下密西西比河已经缩短了两百四十二英里。这是平均每年一英里和三分之一的小事。因此，任何冷静的人，只要不是瞎子或白痴，都可以看到，就在100万年前的明年11月的“老鲕粒志留纪时期”，密西西比河下游长达130万里以上，卡在像钓鱼竿一样在墨西哥湾上空。同样的道理，任何人都可以看到，七百四十二年后，密西西比河下游将只有一英里四分之三长，开罗和新奥尔良将连在一起，在一条单一市长和一个共同的市议员委员会。科学有一些令人着迷的东西。人们从如此微不足道的事实投资中获得了如此巨大的猜想回报。”

   （添加了重点。）吐温的讽刺与文章中商业分析师罗伯特·西赫拉（Robert Cihra）的引述相比毫不逊色：

   如果你对未来进行足够远的推断，为了维持这种增长，苹果必须向地球上的每个男人、女人、孩子、动物和岩石出售 iPhone。

   （不幸的是，Cihra 似乎没有听从他自己的建议：他将这只股票评为“买入”。他可能是对的，不是基于优点，而是基于更大的傻瓜理论。）

如果我们把这篇文章理解为“小心将以前的增长推断到未来”，我们会从中得到很多。那些认为这家公司值得买入的投资者，因为它的市盈率很低（其中包括文章中引用的几位著名的基金经理），并不比一个多世纪前讽刺的“笨重的科学家”吐温好。

更好地了解 Bernoulli、Hotelling 和 Twain 会提高本文的准确性和可读性，但最终似乎得到了正确的信息。

很幽默，我刚刚写了一篇关于这个主题的博客文章：http: //confounding.net/2012/03/12/thats-not-how-the-law-of-large-numbers-works/

本质上，大数定律是随着随机过程的试验次数增加，这些试验的平均值将接近实际平均值（或期望，对于更复杂的分布）。因此，如果您掷硬币一次并得到正面，您的正面概率 = 1.0，随着您掷的硬币越来越多，您的正面概率会越来越接近 0.50。

作者认为，由于与大数定律实际上根本不相关的事情，Apple 将来会遇到麻烦。也就是说，随着苹果的规模越来越大，以绝对美元计算的股价、收益等方面的相同百分比增长变得更加难以达到。基本上，要坚持下去，苹果必须获得越来越大的打击。

将其与收敛到平均值的随机过程的行为联系起来需要一些严肃的心理体操。据我所知，断言是“你的产品的真棒”是一个随机过程，虽然苹果有过“高于平均水平”的连续表现，但它们最终将不得不收敛到“中等”的平均值”。但这对作者来说真的很慈善。

仅仅因为 5000 亿是一个很大的数字，并不意味着“大数定律”对它起作用。

没有理由认为特定公司的股价随时间的变化代表独立的、同分布的随机变量。