我试图理解哈密顿蒙特卡洛（HMC）的内部工作，但是当我们用 Metropolis-Hasting 提议替换确定性时间积分时无法完全理解部分。我正在阅读 Michael Betancourt 撰写的很棒的介绍性论文A Conceptual Introduction to Hamiltonian Monte Carlo，因此我将遵循其中使用的相同符号。

背景

马尔可夫链蒙特卡罗 (MCMC) 的总体目标是近似分布$\pi(q)$目标变量$q$.

HMC 的想法是引入一个辅助“动量”变量$p$，结合原始变量$q$这被建模为“位置”。位置-动量对形成扩展的相空间，可以用哈密顿动力学来描述。联合分布$\pi(q, p)$可以写成微正则分解：

$\pi(q, p) = \pi(\theta_E | E) \hspace{2pt} \pi(E)$,

在哪里$\theta_E$表示参数$(q, p)$在给定的能量水平上$E$，也称为典型集。参见论文的图 21 和图 22 进行说明。

原始 HMC 程序由以下两个交替步骤组成：

• 在能级之间执行随机转换的随机步骤，以及

• 沿给定能级执行时间积分（通常通过越级数值积分实现）的确定性步骤。

在论文中，有人认为越级（或辛积分器）具有会引入数值偏差的小误差。因此，我们不应将其视为确定性步骤，而应将其转化为 Metropolis-Hasting (MH) 提议，以使该步骤具有随机性，并且生成的过程将从分布中产生精确的样本。

MH提案将执行$L$越级操作的步骤，然后翻转的势头。然后，该提案将被接受，接受概率如下：

$a (q_L, -p_L | q_0, p_0) = min(1, \exp(H(q_0,p_0) - H(q_L,-p_L)))$

问题

我的问题是：

1）为什么这种将确定性时间积分转化为 MH 提议的修改会消除数值偏差，从而使生成的样本完全遵循目标分布？

2）从物理学的角度来看，能量在给定的能级上是守恒的。这就是为什么我们能够使用汉密尔顿方程：

$\dfrac{dq}{dt} = \dfrac{\partial H}{\partial p}, \hspace{10pt} \dfrac{dp}{dt} = -\dfrac{\partial H}{\partial q}$.

从这个意义上说，能量在典型集合上的任何地方都应该是恒定的，因此$H(q_0, p_0)$应该等于$H(q_L, -p_L)$. 为什么存在允许我们构建接受概率的能量差异？