尽管这是我的问题，但我将尝试在这里稍微推进对话。自从我问这个问题已经 6 个月了，不幸的是没有给出完整的答案，我将尝试总结到目前为止我收集到的内容，看看是否有人可以详细说明剩余的问题。请原谅冗长的答案，但我没有其他办法......

首先，我将演示几种使用可能更好的合成数据集的方法。它来自 Beckers 和 Rixon ( 2003 ) 的一篇论文，该论文说明了使用一种算法对 gappy 数据进行 EOF。如果有人感兴趣，我已经在 R 中复制了该算法（链接）。

合成数据集：

#color palette
pal <- colorRampPalette(c("blue", "cyan", "yellow", "red"))

#Generate data
m=50
n=100
frac.gaps <- 0.5 # the fraction of data with NaNs
N.S.ratio <- 0.25 # the Noise to Signal ratio for adding noise to data

x <- (seq(m)*2*pi)/m
t <- (seq(n)*2*pi)/n


#True field
Xt <- 
 outer(sin(x), sin(t)) + 
 outer(sin(2.1*x), sin(2.1*t)) + 
 outer(sin(3.1*x), sin(3.1*t)) +
 outer(tanh(x), cos(t)) + 
 outer(tanh(2*x), cos(2.1*t)) + 
 outer(tanh(4*x), cos(0.1*t)) + 
 outer(tanh(2.4*x), cos(1.1*t)) + 
 tanh(outer(x, t, FUN="+")) + 
 tanh(outer(x, 2*t, FUN="+"))

Xt <- t(Xt)
image(Xt, col=pal(100))

#Noise field
set.seed(1)
RAND <- matrix(runif(length(Xt), min=-1, max=1), nrow=nrow(Xt), ncol=ncol(Xt))
R <- RAND * N.S.ratio * Xt

#True field + Noise field
Xp <- Xt + R
image(Xp, col=pal(100))

因此，真实数据字段Xt由 9 个信号组成，我在其中添加了一些噪声以创建观察字段Xp，这将在下面的示例中使用。EOF 是这样确定的：

EOF

#make covariance matrix
C <- t(Xp) %*% Xp #cov(Xp)
image(C)

#Eigen decomposition
E <- svd(C)

#EOFs (U) and associated Lambda (L) 
U <- E$u
L <- E$d

#projection of data onto EOFs (U) to derive principle components (A)
A <- Xp %*% U

按照我在原始示例中使用的示例，我将通过 North 的经验法则确定“重要的”EOF。

诺斯的经验法则

Lambda_err <- sqrt(2/dim(Xp)[2])*L
upper.lim <- L+Lambda_err
lower.lim <- L-Lambda_err
NORTHok=0*L
for(i in seq(L)){
    Lambdas <- L
    Lambdas[i] <- NaN
    nearest <- which.min(abs(L[i]-Lambdas))
    if(nearest > i){
        if(lower.lim[i] > upper.lim[nearest]) NORTHok[i] <- 1
    }
    if(nearest < i){
        if(upper.lim[i] < lower.lim[nearest]) NORTHok[i] <- 1
    }
}
n_sig <- min(which(NORTHok==0))-1
n_sig

plot(L[1:20],log="y", ylab="Lambda (dots) and error (vertical lines)", xlab="EOF")
segments(x0=seq(L), y0=L-Lambda_err, x1=seq(L), y1=L+Lambda_err)
abline(v=n_sig+0.5, col=2, lty=2)
text(x=n_sig, y=mean(L[1:10]), labels="North's Rule of Thumb", srt=90, col=2)

由于 2:4 的 Lambda 值在幅度上彼此非常接近，因此根据经验法则，这些被认为是微不足道的 - 即它们各自的 EOF 模式可能会重叠和混合，因为它们的幅度相似。这是不幸的，因为我们知道现场实际存在 9 个信号。

一种更主观的方法是查看对数转换的 Lambda 值（“Scree 图”），然后将回归拟合到尾随值。然后可以直观地确定 lambda 值位于该线上方的哪个级别：

屏幕图

ntrail <- 35
tail(L, ntrail)
fit <- lm(log(tail(L, ntrail)) ~ seq(length(L)-ntrail+1, length(L)))
plot(log(L))
abline(fit, col=2)

因此，5 个领先的 EOF 位于这条线之上。Xp当没有添加额外的噪声并且结果显示所有 9 个原始信号时，我已经尝试了这个示例。因此，EOF 6:9 的不显着性是因为它们的幅度低于现场噪声。

一种更客观的方法是 Overland 和 Preisendorfer (1982) 的“规则 N”标准。包中有一个实现wq，我在下面显示。

规则 N

library(wq)
eofNum(Xp, distr = "normal", reps = 99)

RN <- ruleN(nrow(Xp), ncol(Xp), type = "normal", reps = 99)
RN
eigs <- svd(cov(Xp))$d
plot(eigs, log="y")
lines(RN, col=2, lty=2)

规则 N 确定了 4 个重要的 EOF。就个人而言，我需要更好地理解这种方法；为什么可以根据不使用与中相同分布的随机场来衡量误差水平Xp？这种方法的一种变体是对数据重新采样，Xp以便每列随机重新排列。这样，我们保证随机场的总方差与 相同Xp。通过多次重采样，我们可以计算分解的基线误差。

带随机场的蒙特卡洛（即 Null 模型比较）

iter <- 499
LAMBDA <- matrix(NaN, ncol=iter, nrow=dim(Xp)[2])

set.seed(1)
for(i in seq(iter)){
    #i=1

    #random reorganize dimensions of scaled field
    Xp.tmp <- NaN*Xp
    for(j in seq(dim(Xp.tmp)[2])){
        #j=1
        Xp.tmp[,j] <- Xp[,j][sample(nrow(Xp))]
    }

    #make covariance matrix
    C.tmp <- t(Xp.tmp) %*% Xp.tmp #cov(Xp.tmp)

    #SVD decomposition
    E.tmp <- svd(C.tmp)

    #record Lambda (L) 
    LAMBDA[,i] <- E.tmp$d

    print(paste(round(i/iter*100), "%", " completed", sep=""))
}

boxplot(t(LAMBDA), log="y", col=8, border=2, outpch="")
points(L)

同样，4 个 EOF 高于随机场的分布。我对这种方法和规则 N 的担心是，它们并没有真正解决 Lambda 值的置信区间；例如，较高的第一个 Lambda 值将自动导致较低的方差量，由尾随的值来解释。因此，从随机场计算的 Lambda 将始终具有较小的斜率，并且可能导致选择的有效 EOF 太少。[注意：该eofNum()函数假定 EOF 是根据相关矩阵计算的。如果使用例如协方差矩阵（居中但未缩放的数据），此数字可能会有所不同。]

最后，@tomasz74 提到了 Babamoradi 等人的论文。（2013），我对此进行了简要介绍。它非常有趣，但似乎更专注于计算 EOF 负载和系数的 CI，而不是 Lambda。尽管如此，我相信可以采用相同的方法来评估 Lambda 误差。通过对行重新采样直到生成新字段，对数据字段进行引导重新采样。同一行可以多次重采样，这是一种非参数方法，不需要对数据的分布做出假设。

Lambda 值的引导程序

B <- 40 * nrow(Xp)
LAMBDA <- matrix(NaN, nrow=length(L), ncol=B)
for(b in seq(B)){
    samp.b <- NaN*seq(nrow(Xp))
    for(i in seq(nrow(Xp))){
        samp.b[i] <- sample(nrow(Xp), 1)
    }
    Xp.b  <- Xp[samp.b,]
    C.b  <- t(Xp.b) %*% Xp.b 
    E.b  <- svd(C.b)
    LAMBDA[,b] <- E.b$d
    print(paste(round(b/B*100), "%", " completed", sep=""))
}
boxplot(t(LAMBDA), log="y", col=8, outpch="", ylab="Lambda [log-scale]")
points(L, col=4)
legend("topright", legend=c("Original"), pch=1, col=4)

虽然这可能比 North 计算 Lambda 值误差的经验法则更可靠，但我现在相信 EOF 重要性的问题归结为对这意味着什么的不同意见。对于 North 的经验法则和 bootstrap 方法，重要性似乎更多地取决于 teere 是否是 Lambda 值之间的重叠。如果有，那么这些 EOF 可能会混合在它们的信号中，而不是代表“真实”模式。另一方面，这两个 EOF 可能描述了大量的方差（与随机场的分解相比 - 例如规则 N）。因此，如果有人对滤除噪声（即通过 EOF 截断）感兴趣，那么规则 N 就足够了。如果有人对确定数据集中的真实模式感兴趣，那么更严格的 Lambda 重叠标准可能会更稳健。

同样，我不是这些问题的专家，所以我仍然希望有更多经验的人可以补充这个解释。

参考：

Beckers、Jean-Marie 和 M. Rixen。“来自不完整海洋学数据集的 EOF 计算和数据填充。” 大气和海洋技术杂志 20.12 (2003): 1839-1856。

Overland, J. 和 R. Preisendorfer，适用于旋风气候学的主要成分的显着性检验，周一。威亚。修订版，110，1-4，1982。