给定以下两个时间序列（x，y；见下文），对这些数据中的长期趋势之间的关系进行建模的最佳方法是什么？

当建模为时间函数时，这两个时间序列都具有显着的 Durbin-Watson 检验，并且都不是静止的（正如我理解的术语，或者这是否意味着它只需要在残差中是静止的？）。有人告诉我，这意味着我应该对每个时间序列进行一阶差分（至少，甚至可能是二阶），然后才能将一个时间序列建模为另一个时间序列的函数，本质上是利用 arima(1,1,0 ), arima(1,2,0) 等。

我不明白为什么在建模之前需要去趋势。我理解对自相关建模的必要性，但我不明白为什么需要差分。对我来说，似乎通过差分来消除趋势正在消除我们感兴趣的数据中的主要信号（在这种情况下是长期趋势），并留下高频“噪声”（松散地使用术语噪声）。实际上，在模拟中，我在一个时间序列和另一个时间序列之间创建了几乎完美的关系，没有自相关，区分时间序列给我的结果对于关系检测目的是违反直觉的，例如，

a = 1:50 + rnorm(50, sd = 0.01)
b = a + rnorm(50, sd = 1)
da = diff(a); db = diff(b)
summary(lmx <- lm(db ~ da))

在这种情况下，b与a密切相关，但b具有更多噪声。对我来说，这表明差分在检测低频信号之间关系的理想情况下不起作用。我知道差分通常用于时间序列分析，但它似乎对确定高频信号之间的关系更有用。我错过了什么？

示例数据

df1 <- structure(list(
x = c(315.97, 316.91, 317.64, 318.45, 318.99, 319.62, 320.04, 321.38, 322.16, 323.04, 324.62, 325.68, 326.32, 327.45, 329.68, 330.18, 331.08, 332.05, 333.78, 335.41, 336.78, 338.68, 340.1, 341.44, 343.03, 344.58, 346.04, 347.39, 349.16, 351.56, 353.07, 354.35, 355.57, 356.38, 357.07, 358.82, 360.8, 362.59, 363.71, 366.65, 368.33, 369.52, 371.13, 373.22, 375.77, 377.49, 379.8, 381.9, 383.76, 385.59, 387.38, 389.78), 
y = c(0.0192, -0.0748, 0.0459, 0.0324, 0.0234, -0.3019, -0.2328, -0.1455, -0.0984, -0.2144, -0.1301, -0.0606, -0.2004, -0.2411, 0.1414, -0.2861, -0.0585, -0.3563, 0.0864, -0.0531, 0.0404, 0.1376, 0.3219, -0.0043, 0.3318, -0.0469, -0.0293, 0.1188, 0.2504, 0.3737, 0.2484, 0.4909, 0.3983, 0.0914, 0.1794, 0.3451, 0.5944, 0.2226, 0.5222, 0.8181, 0.5535, 0.4732, 0.6645, 0.7716, 0.7514, 0.6639, 0.8704, 0.8102, 0.9005, 0.6849, 0.7256, 0.878),
ti = 1:52), 
.Names = c("x", "y", "ti"), class = "data.frame", row.names = 110:161)

ddf<- data.frame(dy = diff(df1$y), dx = diff(df1$x))
ddf2<- data.frame(ddy = diff(ddf$dy), ddx = diff(ddf$dx))
ddf$ti<-1:length(ddf$dx); ddf2$year<-1:length(ddf2$ddx)
summary(lm0<-lm(y~x, data=df1))      #t = 15.0
summary(lm1<-lm(dy~dx, data=ddf))    #t = 2.6
summary(lm2<-lm(ddy~ddx, data=ddf2)) #t = 2.6