机器算法验证 - 为什么高斯线性模型中的 F 检验最强大？ - 吾爱随笔录

为什么高斯线性模型中的 F 检验最强大？

机器算法验证假设检验正态分布线性模型统计能力似然比

2022-03-26 10:31:58

对于高斯线性模型 $Y=\mu+\sigma G$ 在哪里 $\mu$ 假设位于某个向量空间中 $W$ 和 $G$ 有标准正态分布 $\mathbb{R}^n$ , 的统计量 $F$ -测试 $H_0\colon\{\mu \in U\}$ 在哪里 $U \subset W$ 是向量空间，是偏差统计量的递增的一对一函数：

f = ϕ (2 \log \frac{sup_{μ \in W, σ > 0} L (μ, σ | y)}{sup_{μ \in U, σ > 0} L (μ, σ | y)}) .

$f=\phi\left( 2\log \frac{\sup_{\mu \in W, \sigma>0} L(\mu, \sigma | y)}{\sup_{\mu \in U, \sigma>0} L(\mu, \sigma | y)} \right).$ 我们怎么知道这个统计量为

H_{0}

$H_0$ 提供了最强大的测试（可能在丢弃不寻常的特殊情况之后）？这并非源于 Neyman-Pearson 定理，因为该定理断言似然比检验对于点假设

H_{0} : {μ = μ_{0}, σ = σ_{0}}

$H_0\colon\{\mu=\mu_0, \sigma=\sigma_0\}$ 和

H_{1} : {μ = μ_{1}, σ = σ_{1}}

$H_1\colon\{\mu=\mu_1,\sigma=\sigma_1\}$ 。

1个回答

我已经关注这个问题一段时间了，希望对经典测试理论有更深入了解的人可以解释为什么测试通常不是最强大的正如@cardinal 在评论中所写。民间传说只能针对单变量参数的片面假设构建统一最强大的测试，但这样的评论并不能真正回答问题。 $F$ $-$

Cox 和 Hinkley 在Theoretical Statistics中的示例 5.5表明检验是对方差未知的单变量均值的一致最强大的相似检验。参考Scheffé 的The Analysis of Variance中的技术，同一示例声称，在多变量情况下，对一个参数的假设的余维数为 1 时，检验等效于检验。 $t$ $t$ $U$ $F$ $t$

示例 5.20，仍在 Cox 和 Hinkley 中，考虑了单向方差分析。它认为，在至少三个组的情况下，对于组之间没有差异的假设没有统一的最有力的相似检验。这给出了表明检验并非一致最强大的成分，因为对于特定的替代方案，存在更强大的检验。然而检验是一致最强大的不变量检验。 $F$ $t$ $F$

那么相似和不变是什么意思呢？如果在假设下拒绝的概率为（对于所有可能的干扰参数选择），则一个嵌套的用于大小为的测试的关键区域序列称为相似。如果关键区域在一组变换下不变，则检验是不变的。对于单向方差分析，该组是一组正交变换。我建议阅读 Cox 和 Hinkley 的第 5 章了解更多详细信息。另见 Scheffé 书中关于检验的最佳特性的第 2.10 节。 $\alpha \in [0,1]$ $\alpha$ $F$

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