我将此发布到 mathoverflow 并没有人回答：

Scheffé识别统计显着性对比的方法广为人知。个种群的平均值 ,之间的对比是线性组合其中，对比的标量倍数本质上是相同的对比，所以可以说对比的集合是一个射影空间。Scheffé 方法检验了一个原假设，即这些个总体之间的所有，并且给定显着性水平拒绝原假设$\mu_i$$i=1,\ldots,r$$r$$\sum_{i=1}^r c_i \mu_i$$\sum_{i=1}^r c_i=0$$r$$0$$\alpha$$\alpha$假设原假设为真。如果零假设被拒绝，Scheffé 指出他的测试告诉我们哪些对比与显着不同（我不确定我链接到的 Wikipedia 文章指出了这一点）。$0$

我想知道是否可以在不同的情况下做类似的事情。考虑一个简单的线性回归模型，其中 ,。$Y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i$$\varepsilon_i\sim\operatorname{i.i.d.}N(0,\sigma^2)$$i=1,\ldots,n$

我想考虑的零假设涉及一种不同的对比。它说没有子集使得 for和 for，其中。如果子集是预先指定的，那么一个普通的双样本检验会做到这一点，但我们需要考虑所有子集并抑制拒绝真零假设的概率。$A\subseteq\lbrace 1,\ldots,n\rbrace$$E(Y_i) = \alpha_1 + \beta x_i$$i\in A$$E(Y_i) = \alpha_2 + \beta x_i$$i\not\in A$$\alpha_1\ne\alpha_2$$A$$t$

如果效率不是一个问题，人们可以弄清楚这一点：找到一个通过所有可能性的测试。即使这样也是有问题的；两个对比不会是独立的。我问了一位异常值检测专家，他只是说这是一场组合噩梦。然后我问是否有人可以证明没有有效的方法来做到这一点，也许可以通过减少一个 NP-hard 问题。他只是说他远离 NP 难题。$2^{n-1}-1$

那么：可以证明这个问题是“困难的”还是不是？