机器算法验证 - 如果所有边际分布都是连续的，那么联合分布是连续的吗？ - 吾爱随笔录

如果所有边际分布都是连续的，那么联合分布是连续的吗？

机器算法验证可能性分布随机变量

2022-03-18 22:42:17

考虑一个随机向量。假设每个在支持下连续分布，对于。这是否意味着也应该连续分布（尽管不一定支持）？ $X\equiv (X_1,...,X_L)$ $X_l$ $\mathbb{R}$ $l=1,...,L$ $X$ $\mathbb{R}^L$

我澄清说，通过的支持，我打算最小的封闭集使得。 $X_l$ $\mathcal{X}$ $Pr(X_l\in \mathcal{X})=1$

2个回答

不，如果单个随机变量是连续的，因此它们的边际分布可以使用 pdf 来描述，那么它们不一定是联合pdf。OP 的“声明”的一个标准反例是当和是一个独立的离散随机变量，以相等的概率取值然后，也是，但(没有联合pdf（以每单位面积的概率质量为单位测量）。所有概率质量都位于和线上，并且由于线的面积为零， $X \sim N(0,1)$ $Z$ $\pm 1$ $Y = ZX \sim N(0,1)$ $(X,Y)$ $y=x$ $y=-x$ $(X,Y)$ 不享有联合pdf（以每单位面积的概率质量为单位测量）。例如，参见Macro 的这个答案。

不，一个非常简单的反例是其中边缘是标准正态但联合分布集中在对角线上。因此，联合分布在平面上没有关于 Lebesgue 测量的密度，但它确实具有关于该线上的 Lebesgue 密度的密度。 $(Z, Z)$ $Z \sim \mathcal{Norm}(0,1)$ $y=x$ $y=x$

段上为正。令在单位圆上均匀分布，即我们可以表示为其中。我在R中做了一个模拟： $[-1, 1]$ $(X,Y)$ $X=\cos(\theta), Y=\sin(\theta)$ $\theta \sim \mathcal{Uniform}(0, 2\pi)$

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