机器算法验证 - Var[s2]=σ4(2n−1+κn)Var[s2]=σ4(2n−1+κn) 的参考？ - 吾爱随笔录

Var[s2]=σ4(2n−1+κn)Var[s2]=σ4(2n−1+κn) 的参考？

机器算法验证估计方差参考

2022-03-17 23:33:54

在他对我上一个问题的回答中， @Erik P.给出了表达式

V a r [s^{2}] = σ^{4} (\frac{2}{n - 1} + \frac{k a p p a}{n}),

$\mathrm{Var}[s^2]=\sigma^4 \left(\frac{2}{n-1} + \frac{\ kappa}{n}\right) \>,$ 其中

κ

$\kappa$ 是分布的超峰态。给出了关于样本方差分布的维基百科条目的参考，但维基百科页面显示“需要引用”。

我的主要问题是，这个公式有参考吗？推导是否“微不足道”，如果是，可以在教科书中找到吗？（@Erik P. 在数学统计和数据分析中找不到它，我在Casella 和 Berger 的统计推断中也找不到它。即使涵盖了该主题。

有一本教科书参考书会很好，但有一个（该）主要参考书更有用。

（一个相关的问题是：来自未知分布的样本的方差分布是什么？）

更新：@cardinal指出了 math.SE 的另一个等式：

V a r (S^{2}) = \frac{μ_{4}}{n} - \frac{σ^{4} (n - 3)}{n, (n - 1)}

$\mathrm{Var}(S^2)={\mu_4\over n}-{\sigma^4\,(n-3)\over n\ ,(n-1)}$ 其中

μ_{4}

$\mu_4$ 是第四个中心矩。

有什么方法可以重新排列方程式并解决这两个问题，还是标题中的方程式错误？

2个回答

资料来源：《统计理论导论》，Mood，Graybill，Boes，第 3 版，1974 年，p。229.

推导：请注意，在 OP 的 Wikipedia 链接中，$\kappa$ 不是峰度而是超峰度，即“常规”峰度 - 3。要回到“常规”峰度，我们必须在适当的位置添加 3放在维基百科公式中。 $\kappa$ is not the kurtosis but the

我们有，来自 MGB：

$\text{Var}[S^2] = {1\over{n}}(\mu_4 - {{n-3}\over{n-1}}\sigma^4)$

其中，使用身份 $\mu_4 = (\kappa + 3)\sigma^4$，可以安排为（推导我的，所以任何错误也是）： $\mu_4 = (\kappa + 3)\sigma^4$ , can be arranged to (derivation mine, so any errors are too):

$= {1\over{n}}(\kappa \sigma^4 + {{n-1}\over{n-1}}3\sigma^4 -{{n-3}\over{n-1}}\sigma^4) = \sigma^4\left({\kappa \over{n}}+{3(n-1)-(n-3)\over{n(n-1)}}\right) = \sigma^4\left({\kappa\over{n}} + {{2}\over{n-1}}\right)$

目前尚不清楚这是否适合您对明确参考的需求，但这个问题出现在 Casella 和 Berger 的练习中：

（第 364 页，练习 7.45 b）：

在此处输入图像描述

参考提供另一种变体的练习 5b，其中 $\Theta_2$ 和 $\Theta_4$ 分别是二阶矩和四阶矩（$\sigma^2$ 和 $\kappa$）： $\Theta_2$ and $\Theta_4$ are the second and fourth moments ( $\sigma^2$ and $\kappa$ ), respectively:

在此处输入图像描述

这些等效于 math.SE 答案中给出的方程式：

$\mbox{Var}(S^2)={\mu_4\over n}-{\sigma^4\,(n-3)\over n\,(n-1)}$

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