但这是否意味着任何不包含任何具有无限支持的 pdf 的 RV 的 RV 序列（即）在概率上是有限的，因为您总是可以选择更高的B_ϵ？$−∞<x<∞$$B_ϵ$

你犯的错误在于逻辑顺序。对于给定的$\epsilon$，您必须能够同时为 \boldsymbol{\n\geq N_{\epsilon}} 选择适用于每个\ boldsymbol {X_n}$B_{\epsilon}$。你正在考虑相反的方式：一旦你有了你的X_n你选择你的B_{\epsilon}。但这不是定义所说的。所以，即使你所有的随机变量都有有限的支持，因为你被迫首先选择B_{\epsilon}，一个X_n可能会出现在序列中，这样，虽然仍然有有限的支持，但它的支持不受$\boldsymbol{X_n}$$\boldsymbol{\ n\geq N_{\epsilon}}$$X_n$$B_{\epsilon}$$B_{\epsilon}$$X_n$$B_{\epsilon}$。请注意，仅此一项并不一定会阻止序列在概率上受到限制，但它说明了为什么您的论点不起作用。正如 Kjetil 所示，这确实可以以一种使序列不受概率限制的方式发生。

不，让上均匀分布，对于则是概率无界的有界随机变量序列。$X_n$$(n, n+1)$$n=1,2,3,\dotsc$$\{X_n\}$

我们可以通过绘制它们绝对值的分布函数来描述任何随机变量序列的相关分布特性。 这些函数的值介于和从左到右向上增长最终达到（如果只是渐近）。该图使用颜色来指示每个分布在序列中的位置，从蓝色（第一个）通过色谱到红色（序列中的远处）。$0$$1,$$1$

当最终随机变量的几乎所有概率都位于有界集合内时，序列的概率将是有界的。要证明这样的主张，您必须准备好迎接挑战。你的对手，一个怀疑论者，提出了一个很小的（但仍然是正的）数 作为回报，您必须提供一个绑定的并证明在仅删除有限数量的变量后，序列中所有剩余的变量至少有的机会小于 .$\varepsilon.$$B_\epsilon$$1-\epsilon$$B_\epsilon$

在图形方面，将阈值概率设置为，刚好低于图形的上限： $\epsilon$$1-\epsilon$

您正在寻找阻挡“灰色”区域的水平位置，如下所示：$B_\epsilon$

右侧的下方的所有内容也变灰。只剩下左上角的瘦白色矩形。$B_\epsilon$$1-\epsilon$

任何设法超出灰色区域的图形，如这里的黄色到红色图形，对应于一个随机变量，该随机变量的大小超过了所需的机会小于。其他人（蓝色和绿色，最终用虚线表示）没有成功：即使当他们到达他们还没有达到 的可能性太大。$1-\epsilon$$B_\epsilon$$B_\epsilon,$$1-\epsilon.$$B_\epsilon$

为了反驳怀疑论者，你可以改变$B_\epsilon.$ 当您向右滑动时，越来越多的曲线有机会脱离灰色区域。

一个序列在概率上是有界的，无论怀疑者可能使上部的白色带多么瘦，您都可以找到一个有限的水平位置，所有足够红色的曲线都使其超出灰色区域。$B$

如果偶尔，一条红色曲线（即序列中远处的变量的分布）下降得比许多其他曲线低，那么您可能没有概率有界的序列。