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逐点互信息可以在 [-1,+1] 之间进行归一化，导致 -1（在极限内）表示从不一起出现，0 表示独立，+1 表示完全共现。

为什么会这样？那么，逐点互信息的定义是

$$pmi \equiv \log \left[ \frac{p(x,y)}{p(x)p(y)} \right] = \log p(x,y) - \log p(x) - \log p(y),$$

而对于归一化的逐点互信息是：

$$npmi \equiv \frac{pmi}{-\log p(x,y)} = \frac{\log[ p(x) p(y)]}{\log p(x,y)} - 1.$$

当有：

• 没有同时出现，$\log p(x,y)\to -\infty$, 所以nmpi是 -1,
• 随机同时出现，$\log p(x,y)= \log[p(x) p(y)]$, 所以nmpi为 0,
• 完全共现，$\log p(x,y)= \log p(x) = \log p(y)$，所以 nmpi为 1。

虽然 Piotr Migdal 的回答在给出 nmpi 达到三个极值的示例方面提供了丰富的信息，但它并不能证明它在区间内$[-1,1]$. 这是不等式及其推导。

$$\begin{align} &\log\,p(x,y) \\ \le&\log\,p(x,y)-\log\,p(x)-\log\,p(y) \\ =&\log \frac{p(x,y)}{p(x)p(y)}=:\text{pmi}(x;y) \\ =& \log \left[ \frac{p(x,y)}{p(x)} \cdot \frac{p(x,y)}{p(y)} \cdot \frac{1}{p(x,y)} \right] \\ =& \log \left[ p(x|y) \cdot p(y|x) \cdot \frac{1}{p(x,y)} \right] \\ =&\log\, p(x|y)+\log\, p(y|x)-\log\,p(x,y) \\ =& -\log\,p(x,y) \;\; [\because -\log\,p(A)\ge0 \text{ for any event } A] \end{align}$$
$$\begin{equation} \therefore \log\,p(x,y) \leq \text{pmi}(x;y) \le-\log\,p(x,y) \end{equation}$$

两边除以非负，我们有 $h(x,y):=-\log\,p(x,y)$

$$-1\le\text{npmi}(x;y):=\frac{\text{pmi(x;y)}}{h(x,y)}\le1.$$