机器算法验证 - 做什么磷( |Xn- X| ≥ε)P(|Xn−X|≥ϵ)直观地表示？ - 吾爱随笔录

做什么磷( |Xn- X| ≥ε)P(|Xn−X|≥ϵ)直观地表示？

机器算法验证随机变量收敛直觉

2022-03-16 04:33:34

我明白了 $P(|X_n - c| \geq \epsilon)$ 表示随机变量的概率 $X_n$ 在区间之外 $(c - \epsilon, c + \epsilon)$ 但我不确定它如何与随机变量一起工作 $P(|X_n - X| \geq \epsilon)$ . 随机变量如何像常量一样只取单个值？你会如何直观地看待这个常数 $c$ 案子？

1个回答

我认为这是一个考虑 $X_n$ 和 $X$ 因为函数很有帮助。

假设我们有两个函数 $f,g : \mathbb R\to\mathbb R$ 也许它们看起来像这样：

在那个图中，我在 x 轴上标记了 $|f-g| > .75$ ，在哪里 $0.75$ 是随意选择的。然后，我们可以将分歧区域的总长度视为不同程度的感觉 $f$ 和 $g$ 是。如果有很长的间隔 $f$ 和 $g$ 超过 $0.75$ 除此之外，我们会有很大的分歧，而如果只有小范围的分歧，那么 $f$ 和 $g$ 很相似。

我们正在做同样的事情 $\newcommand{\e}{\varepsilon}P(|X_n-X|>\e)$ : 根据定义，

P (| X_{n} - X | > ε) = P ({ω \in Ω : | X_{n} (ω) - X (ω) | > ε}) .

$P(|X_n-X|>\e) = P\left(\{\omega\in\Omega : |X_n(\omega) - X(\omega)| > \e\}\right).$ 这里，样本空间

Ω

$\Omega$ 在我的示例中扮演域的角色

f

$f$ 和

g

$g$ , 而不是只看分歧区域的长度（这将使用 Lebesgue 测量），我们用

P

$P$ . 但从根本上说，最重要的想法是我们正在测量域的区域

X_{n}

$X_n$ 和

X

$X$ 不同意超过我们的阈值

ε

$\e$ .

如果其中一个函数碰巧是恒定的，那是完全相同的想法，只是更简单，因为现在只有一件事在变化。

如果您想进行实验，这是该图的代码。我采样了 $f$ 和 $g$ iid 来自具有平方指数内核的高斯过程，以获得平滑的任意外观函数。

set.seed(2)
n <- 1000
xseq <- seq(-5, 5, length=n)
K <- exp(-.5 * as.matrix(dist(xseq))^2)
sims <- MASS::mvrnorm(2, rep(0,n), K)
plot(sims[1,] ~ xseq, type="l", col=2, lwd=2, xlab="x", ylab="y",
     main="f and g with |f-g|>.75 marked", ylim=c(-2,2))
lines(sims[2,] ~ xseq, col=4, lwd=2)
legend("topleft", c("f", "g"), lwd=2, col=c(2,4), bty="n")

thresh <- .75
rug(xseq[abs(sims[1,] - sims[2,]) > thresh])

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