为了$\alpha \leq 1$，也许这是一个论证，表明不可能构造这样的后验？

我们想知道是否有可能$\int \tilde \pi(\theta|x)d\theta = \infty$.

在 RHS 上：

$$\int \pi(\theta) L^{\alpha}(\theta|x) d\theta = E_{\theta}(L^{\alpha}(\theta|x))$$

如果$\alpha \leq 1$,$x^{\alpha}$是一个凹函数，所以由 Jensen 不等式：

$$E_{\theta}(L^{\alpha}(\theta|x)) \leq E^{\alpha}_{\theta}(L(\theta|x)) = m(x)^\alpha < \infty$$

... 在哪里$m(x)$正如西安所指出的，是归一化常数（证据）。

可以使用@InfProbSciX 的答案中的结果来证明一般的结果。改写$L(\theta\mid x)^\alpha\pi(\theta)$作为

$$L(\theta\mid x)^{\alpha-1}L(\theta\mid x)\pi(\theta).$$ 如果$1 \leq \alpha \leq 2$，我们有上面的 Jensen 不等式情况，因为我们知道$L(x|\theta)\pi(\theta)$是可归一化的。同样，如果$2 \leq \alpha \leq 3$，我们可以写 $$L(x|\theta)^{\alpha-p} L(x|\theta)^p\pi(\theta),$$ 和$1 \leq p \leq 2$，再次陷入同样的​​情况，因为我们知道$L(x|\theta)^{p}\pi(\theta)$是可归一化的。现在可以使用（强）归纳法来展示一般情况。

旧评论

不确定这是否超级有用，但由于我无法发表评论，我将把它留在答案中。除了@InfProbSciX 关于$\alpha \leq 1$, 如果进一步假设$L(\theta \mid x) \in L^p$, 那么对于$1 < \alpha \leq p$. 例如，如果我们知道第二个 ($p$-th) 时刻$L(\theta \mid x)$存在，我们知道它在$L^2$($L^p$)，因此伪后验将适用于$0 \leq \alpha \leq 2$. 这些笔记中的第 1 节更详细地介绍了一些细节，但不幸的是，尚不清楚该类的范围有多广，例如，$L^{10}$pdfs 是。如果我在这里说话不顺，我很抱歉，我真的很想留下这个作为评论。