“概率分布是随机变量的随机结构的规范。 ”（Gentle，矩阵代数，第 9 章）

也就是说，是的，您可以正确地假设，就概率论中的距离而言，上就是所谓的概率测度、或概率分布定律或概率分布。（这里的所有可测量子集的集合，其中本身就是样本空间。）（参见 Deza 和 Deza，距离百科全书，第 14 章）$P$$A$$A$$\Omega$$\Omega$

因此，我认为“什么是概率分布”这个问题的答案取决于使用该短语的上下文。对于大多数应用目的，例如从与我们的数据相关联的概率分布中“绘制随机变量”，使用具有特定 PMF/PDF 的变量的概念是完全足够的；没有人明确定义概率空间，而只是通过假设特定的概率分布来间接暗示它。这实际上也是计算完成的；在大多数情况下，在随机数生成期间，通过分布的逆 CDF 或通过某种复合方案（例如拒绝抽样），我们在样本中强制执行特定的 PMF/PDF。不过，在数学上，是的，$P$在给定空间上定义一个随机变量。

关于为什么我们需要 σ -代数来定义概率空间，有一个很好的线索？这更多地质疑围绕概率空间的机制。在这方面，Math.SE 也有一些非常相关的主题，关于密度和分布之间的差异 [用正式的数学术语]以及“概率密度函数”和“概率分布函数”之间的差异。

概率分布上的正测度，其中 -algebra和总质量为。它自然地与随机变量相关联，因为每个随机变量都有一个概率分布，并且给定一个概率分布，人们总是可以用这个概率分布构造一个随机变量。引用Terry Tao 的 254A，Notes 0: A review of probability theory，随机变量是来自样本空间的可测量变换，该样本空间具有概率分布，其中$\mathbb{P}$${\cal X}$$\sigma$${\cal A}$$\mathbb{P}({\cal X})=1$$\Omega$$(\Omega,{\cal B},\mu)$$\mu(\Omega)=1$, 到集合上：${\cal X}$

定义 3（随机变量） 令是一个可测空间（即一个集合，配备了 -代数）。中取值的随机变量（或值随机变量）是从样本空间到，即函数使得 是每个的事件。$R = (R,{\mathcal R})$$R$$\sigma$${\mathcal R}$$R$$R$$X$$R$

$$X: \Omega \rightarrow R$$ $X^{-1}(S)$$S \in {\mathcal R}$

（虽然我不认为的可测量性对定义是必要的，因为被自动定义为转换后的 -algebra）。和$R$${\mathcal R}=X(\mathcal B)$$\sigma$

引理 4（创建具有指定分布的随机变量）设是可测量空间上的概率测度。然后（在必要时扩展样本空间 {\Omega} 之后）存在一个值随机变量分布。$\mu$$R = > (R,{\mathcal R})$$R$$X$$\mu$