下图是我如何看待置信区间。它是对“构建置信区间的基本逻辑”问题的答案中的图像的改编，这本身就是对“在二项式 CJ Clopper 和 ES Pearson 的情况下使用 Confidence 或 Fiducial Limits Illustrated Biometrika 第 26 卷，第 4 期（1934 年 12 月），第 404-413 页"

例如，假设。那么 5% 的时间你会使用三规则并且你的置信区间不会包含，并且 95% 的时间你会使用样本标准差来应用标准 CI 程序，并且这个置信区间将包含大约 95 ％ 的时间。$p=\frac{3}{n}+\varepsilon$$p$$p$

• 单边边界

  根据维基百科推导的三规则的情况更接近右侧的图像，这是单边间隔。边界是您观察不到 5% 的时间零成功的情况。如果真正的值是，那么你会在不到 5% 的时间里犯这个错误。在其他情况下，观察 1、2 等。如果您考虑单边边界，您将始终做出正确的边界。（您认为在 95% 的情况下，您将使用另一个区间并在这些情况下犯 95% 的错误，这是不正确的）$3/n$$3/n+\epsilon$

• 两侧边界

  对于右侧的情况，0 次观察的置信区间不是。对于两侧的间隔，计算边界，这样你有 5% 的概率（最多）在两端一起结束。在尾部/边相等的情况下，计算边界使得，从中遵循$3/n$$(1-p)^n \leq 0.025$

  $$p \approx -\log(1-p) = -\log(0.025)/n \approx 3.7/n$$

在上面的示例中，您会看到效果很好。在二项分布的情况下，您还会看到这些边界存在问题。由于离散性，该方法不会为的每个值准确给出 95% 的概率。下面是作为参数值函数的区间覆盖概率图$n = 100$$3.7/n$$p$

为了完整起见，我们还绘制了 BruceET 在他的回答中提到的Jeffreys 的置信区间。它使概率均匀，并使接近和的置信区间更小。以参数的真实值为条件，Jeffreys 区间并不总是以至少 95% 的概率覆盖参数，但它也不是为此而设计的。$p$$0$$1$

p_cover <- function(p, type = 1) {
  n = 100
  k = 0:n
  if (type == 1) { ### Clopper Pearson 
    p_upper = qbeta(1-0.025,k+1,n-k)
    p_lower = qbeta(0.025,k,n-k+1)
  } else { ### Jeffreys'
    p_upper = qbeta(1-0.025,k+0.5,n-k+0.5)
    p_lower = qbeta(0.025,k+0.5,n-k+0.5)
  }
  ks <- which((p <= p_upper)*(p >= p_lower)==1)
  sum(dbinom(ks-1,n,p))
}
p_cover <- Vectorize(p_cover)

ps <- seq(0,1,0.0001)

plot(ps,p_cover(ps), type = "l", ylim = c(0.9,1), xlab = "true value of p",
     ylab = "cover probability",
     main = "probability 95% Clopper Pearson confidence interval covers true value of p",
     cex.main = 1)
lines(c(0,1),c(0.95)*c(1,1), col = 2)


plot(ps,p_cover(ps, type = 2), type = "l", ylim = c(0.9,1), xlab = "true value of p",
     ylab = "cover probability",
     main = "probability 95% Jeffreys' confidence interval covers true value of p",
     cex.main = 1)
lines(c(0,1),c(0.95)*c(1,1), col = 2)

您可以在Javonovic 和 Levy (1997)中找到一些关于“三法则”的有用讨论，包括推导和模拟分析。使用现代计算技术，真的没有理由使用这样的“经验法则”，而不是使用尊重感兴趣参数支持的良好置信区间公式。对于二项式比例的推断，Wilson 得分区间给出了一个区间，该区间尊重比例参数的支持并具有良好的大样本属性。当你没有成功时，这个间隔会减少到类似于（但不一样）“三规则”的东西。

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未成功的 Wilson 得分区间：设表示具有一个自由度的卡方分布的临界点，使用上尾区域。在没有成功的情况下，Wilson 得分区间为：$\chi_{1, \alpha}^2$$\alpha$

$$\text{CI}_p(1-\alpha) = \Bigg[ 0 , \frac{\chi_{1, \alpha}^2}{n + \chi_{1, \alpha}^2} \Bigg].$$

将用于 95% 的置信区间给出：$\alpha = 0.05$

$$\text{CI}_p(0.95) = \Bigg[ 0 , \frac{3.841459}{n + 3.841459} \Bigg].$$

对于较大，这与“三法则”非常相似，但它应该比这个经验法则更准确。至于显示该规则具有所需的覆盖概率，这适用于大的二项式的正态近似。的值，它也给出了一个有效值，其中“三规则”超出了参数的支持范围。（威尔逊分数区间在这些情况下也不是很精彩，但至少尊重了参数的支持！）$n$$n$$n=1,2$

试验中没有成功使用 Jeffreys 置信区间。 这种 CI 风格具有非常好的频率特性，但其动机是使用非信息性先验分布对于，它给出了下面 R 代码中所示的 95% CI，即$n = 100$$p.$$\mathsf{Beta}(.5,.5).$$n = 100$$(0.000, 0.025).$

qbeta(c(.025,.975), 0+.5, 100+.5)
[1] 4.898073e-06 2.474527e-02

如果你想要一个单边的 CI（基本上是 95% 的上限），那么这个界限就是 0.018。

qbeta(.95, 0+.5, 100+.5)
[1] 0.01897689

注释：（1）我从来都不喜欢“三法则”，现在更不用说使用 R 计算更现实的区间了。似乎三法则是基于一种 CI，已被证明不具有声称的覆盖概率。

(2) 完全没有成功，可能存在围绕真正成功概率是否可能为因此不存在合法的 CI。在大约 35 年有组织地在各种无线电频率上收听来自外星人的信息后，没有任何此类信息得到证实。也许没有外星人的无线电发射器向我们的方向发射。$0,$

附录重新评论：对于给定的，几乎总是可以挑选任何风格的 CI 的覆盖概率都很差。如果则“95%”的 Jeffreys CI 具有大约 98% 的覆盖概率，如下面的 R 所示。$n$$p.$$n=100, p=0.021,$

二项分布的离散性意味着我们的想法是选择一种 CI 风格，它不会与“大多数”感兴趣$p.$$p$

我并不是说 Jeffries CI 总是最好的，只是我更喜欢它们而不是“3 规则”。[与此类主题最相关的论文可能是 Brown, Cai & DasGupta (2001), Statistical Science。]

n = 100;  p = 0.021;  x = 0:100
lcl = qbeta(.025, x+.5, n-x+.5)
ucl = qbeta(.975, x+.5, n-x+.5)
cov = (p > lcl)&(p < ucl)
x.cov = x[cov]
sum(dbinom(x.cov,n,p))
[1] 0.9808197