也许金融界的一个简单例子可能有助于直觉。令的利率（注意这是一个随机变量）。$R_t$$t$

许多利率模型（例如Vasicek或Cox-Ingersoll-Ross）暗示利率是平稳过程。如果您在每个时期赚取利率美元开始，那么您在时间拥有的美元数量由下式给出：$R_t$$V_0$$t$

$$V_t = V_0 \prod_{\tau=1}^t \left(1 + R_\tau \right)$$

过程不是静止的。没有无条件的均值或方差。$\left\{ V_t \right\}$

经济和金融的其他例子：

• 令为时间的经济总产出（即 GDP） 。$Y_t$$t$

  • $y_t = \log(Y_t)$几乎可以肯定不是一个静止的过程。
  • 日志输出的增长（即）通常被视为平稳过程$y_t - y_{t-1}$

• 令为整体市场组合的价格。$S_t$

  • $s_t = \log(S_t)$几乎可以肯定不是一个静止的过程。
  • 市场投资组合的对数回报通常被视为平稳过程。$r_t = s_t - s_{t-1}$

随机游走或维纳过程（类似于随机游走的连续时间）是非平稳过程的典型示例。另一方面，随机游走或维纳过程的增量是平稳过程。

温度

正如@kjetil 指出的那样，温度不是一个固定的过程。例如，1 月份的温度分布与 6 月份的温度分布不同。当时间移动时，联合分布会发生变化。

另一方面，令为年的 12 x 1 向量，其中向量的每个条目表示一个月的平均温度。你可能会争辩说是一个平稳的过程。$\mathbf{y}_t$$t$$\mathbf{y}_t$

-更新正如@bright-star 在评论中指出的那样，这是cyclostationarity背后的基本思想。随年份变化，特定日期的温度可能是一个平稳过程。$t$

太阳黑子

Yule 和 Walker开发了第一个时间序列模型来模拟 11 年的太阳黑子周期。

设年的太阳黑子数。他们使用AR(2) 模型将一年中的太阳黑子数量建模为一个平稳过程：$y_t$$t$

$$y_t = a + b y_{t-1} + c y_{t-2} + \epsilon_t$$

一个静止的过程可以有模式、循环等等……

请注意平稳性的两个常见定义。

有点松散：

• 如果联合分布是时不变的，则过程是严格平稳的。
• 如果无条件期望和自协方差存在并且不随时间变化，则过程是协方差平稳的。

（也许是一个晦涩的技术评论，但严格平稳并不意味着协方差平稳，协方差平稳并不意味着严格平稳。）

静止过程的分布不会随时间而改变。一个直观的例子：你掷硬币。50% 正面，不管你今天、明天还是明年翻转它。

一个更复杂的例子：根据有效市场假设，超额股票收益应始终在零附近波动。没有趋势；一旦他们可以预测回报，交易者就会利用这种趋势直到它消失。因此，无论您何时观察到超额收益，它仍然会分布为 WN(0, )。$\sigma$

正如您所说，它会根据白噪声过程随机变化。