弱大数定律的最一般情况甚至不需要第一矩的存在。因此，它在比强数定律（存在第一矩）所需的条件/假设更普遍的条件/假设下成立。

请允许我为您引用 Durrett, Probability: Theory and Examples (4th edition) 的相关结果，以便您自己了解上述陈述的真实性。

(p.60)定理 2.2.7 弱大数定律Let$X_1, X_2, \dots$同住

$$x \mathbb{P}(|X_i|>x) \to 0 \quad as \quad x \to \infty \quad (for\,all\,i=1,2,\dots)$$ 让$S_n = X_1 + \dots + X_n$和$\mu_n = \mathbb{E}[X_1 1_{|X_1 \ge n|}]$. 然后$S_n/n - \mu_n \to 0$在概率上。

条件，对于每个$X_i$在随机变量序列中，即$x \mathbb{P}(|X_i| > x) \to 0$作为$x \to \infty$严格地弱于第一矩的存在——即，存在满足这个条件但没有有限的第一矩的随机变量的独立同分布序列。例如，请参见上面的上一个答案。

(p.73)定理 2.4.1。强大数定律让$X_1, X_2, \dots$是成对独立同分布随机变量$\mathbb{E}|X_i| < \infty$（对全部$i = 1, 2, \dots$）。让$\mathbb{E}X_i = \mu$和$S_n = X_1 + \dots + X_n$. 然后$S_n/n \to \mu$几乎可以肯定$n \to \infty$.

定理 2.4.5。在第 75 页上是强定律，适用于第一时刻存在但不是有限的情况。

如果/当我们假设随机变量具有有限方差（二阶矩）时，这两个结果（大数的弱定律和大数的强定律）都更容易证明，但是对于两个结果都不需要这样的假设。

所以，总而言之，弱大数定律并不是多余的，因为虽然它的结论弱于大数强定律，但它比强数定律“更经常”（即在更一般的条件下）是正确的。大数。所以即使强法不成立，弱法也可能成立。

“强”和“弱”大数定律的数学公式看起来有些相似。然而，这两个法律在性质上是完全不同的：

弱定律从不考虑随机变量的无限实现序列。它只说明不平衡序列不太可能发生，因为考虑到更长的序列。

另一方面，强定律只考虑随机变量的无限实现序列，更准确地说，是这些无限序列的集合。它指出，不平衡序列集的概率为 0，在某种意义上概括了“测量集 0”的概念。

可以看出，强律蕴含弱律，因此可以认为是强律的结果。

然而，反过来是错误的：可以展示遵循弱定律的 rvs 序列，但不能展示强定律。因此，“弱”和“强”这两个词确实是有道理的。例如，让您的序列具有密度

$f_X(x)=x^{-2}I(x>1)$

由于 Borel-Cantelli 引理，您可以获得 WLLN，但不能获得 SLLN。