不，这个定理没有误导性。它当然可以被错误地应用，但对于任何定理都是如此。

这是一个简单的 MATLAB 脚本来演示它是如何工作的：

xd = randn(1e5,10000);
%%
cols = [1,10,100,1000,10000];
for c = cols
    xdt = table(xd(:,1:c));
    res = table2array(rowfun(@norm,xdt));
    mr = mean(res);
    res1 = var(res/mr);
    res2 = (max(res) - min(res))/min(res);
    fprintf('res1: %f, res2: %f\n',res1,res2)
end

输出：

res1: 0.568701, res2: 2562257.458668
res1: 0.051314, res2: 9.580602
res1: 0.005021, res2: 0.911065
res1: 0.000504, res2: 0.221981
res1: 0.000050, res2: 0.063720

在我的代码中， res1 和 res2 是论文中等式中的两个表达式：一个用于方差，第二个用于对比。

当维度从 1 变为 10,000 时，您可以看到两者是如何变为零的。

首先，论文的名称在您的问题中是错误的：您的意思是 Beyer 等人的这篇论文是最初介绍定理的地方，而不是Aggarwal 等人的 这篇论文，您在 OP 中错误地命名了这篇论文，并且是在论文之后写的拜尔等人。人。

接下来，您所说的“误导”是什么意思？如果出现以下情况，则会产生误导：

1. Beyer 等人的这个定理存在一个反例，这是不可能的，因为他们在第一篇论文中的证明是正确的。我在评论中看到人们要求一个具体的例子，如下所示。

2. 引用你的话“这个定理经常被引用来支持这样一种说法，即基于欧几里得空间测量接近度是高维空间中的一种糟糕策略，作者自己这么说，但所提出的行为实际上并没有发生，这让我认为这个定理被以一种误导的方式使用。 ”同样，bahavio(u)r 确实出现在高维中，如下面的示例系列所示：关键要素是具有随机变量生成的 iid 特征/组件iid 随机样本。

满足 Beyer 等定理假设的一系列例子。人。（相对方差 " 变为零），因此该声明也成立（相对对比度为零），在本文“分数距离的集中（Wertz. et. al.） ”中给出，它基本上指出（参见其定理 5，第 878 页）$Var\left[\frac{||X^{(d)}||}{\mathbb{E}||X^{(d)}||}\right]$

定理 5：如果是维随机向量，则$X^{(d)}=(X_1 \dots X_d) \in \mathbb{R}^d$$d$$\frac{||X^{(d)}||}{\mathbb{E}||X^{(d)}||} \to_{p}1 \iff Var\left[\frac{||X^{(d)}||}{\mathbb{E}||X^{(d)}||}\right] \to 0, d \to \infty.$

所以这意味着如果你生成的 iid 随机样本使用一个随机向量，其分量是 iid（例如一个正常的随机向量），那么它的“相对方差 " 将归零，因此根据拜尔定理，最大范数（=距离作为原点的查询点）除以最小范数（=作为原点的查询点的距离）将收敛于概率为或等效地为“相对对比度”（即最远点和最近点之间的距离与原点，减一）也将归零。$\mathcal{N}(0, I_d)$$Var\left[\frac{||X^{(d)}||}{\mathbb{E}||X^{(d)}||}\right]$$1,$

PS 对于有应用意识的人，欢迎您在这里查看我的相关问题，寻求这些定理的实际应用。