这个问题的答案可以在Mathai 和 Provost（1992，Marcel Dekker, Inc.）的《随机变量中的二次形式》一书中找到。

正如评论所阐明的，您需要找到$Q = z_1^2 + z_2^2$在哪里 $z = a - b$服从均值的二元正态分布$\mu$和协方差矩阵$\Sigma$. 这是二元随机变量中的二次形式$z$.

简而言之，对于$p$维情况$z \sim N_p(\mu, \Sigma)$和

$$Q = \sum_{j=1}^p z_j^2$$ 是矩生成函数是 $$E(e^{tQ}) = e^{t \sum_{j=1}^p \frac{b_j^2 \lambda_j}{1-2t\lambda_j}}\prod_{j=1}^p (1-2t\lambda_j)^{-1/2}$$ 在哪里$\lambda_1, \ldots, \lambda_p$是的特征值$\Sigma$和$b$是一个线性函数$\mu$. 参见上面引用的书中的定理 3.2a.2（第 42 页）（我们在这里假设$\Sigma$是非单数）。另一个有用的表示是 3.1a.1（第 29 页） $$Q = \sum_{j=1}^p \lambda_j(u_j + b_j)^2$$ 在哪里$u_1, \ldots, u_p$是独立同居$N(0, 1)$.

本书的整个第 4 章都致力于密度和分布函数的表示和计算，这绝非易事。我对这本书只是表面上熟悉，但我的印象是所有的一般表示都是根据无限级数展开的。

所以以某种方式，这个问题的答案是，是的，两个二元法线向量之间的平方欧几里得距离的分布属于由四个参数参数化的已知（并且经过充分研究）的分布类别$\lambda_1, \lambda_2 > 0$和$b_1, b_2 \in \mathbb{R}$. 然而，我很确定你不会在你的标准教科书中找到这个分布。

此外，请注意，$a$和$b$不需要独立。联合正态就足够了（如果它们是独立的并且每个正态，这是自动的），那么差异$a-b$服从正态分布。

首先定义差分向量的二元分布， $\mu_d = \mu_1 - \mu_2$，这将是简单的$\Sigma_d = \Sigma_1 + \Sigma_2$; 这源于多元不确定性传播 $\Sigma_d = \mathrm{J} \Sigma_{12} \mathrm{J}^T$，涉及块对角矩阵$\Sigma_{12} = \begin{bmatrix} \Sigma_1 & \\ & \Sigma_2 \end{bmatrix}$和雅可比$\mathrm{J} = \begin{bmatrix} +\mathrm{I}, & -\mathrm{I} \end{bmatrix}$.

其次，寻找差向量长度的分布，或与原点的径向距离，即霍伊特分布：

具有不等方差的双变量相关正态随机变量中真实均值周围的半径，用极坐标（半径和角度）重写，遵循霍伊特分布。pdf 和 cdf 以封闭形式定义，数字根查找用于查找 cdf^-1。如果相关性为 0 且方差相等，则归结为瑞利分布。

如果您允许来自 Ballistipedia的偏差差异（偏移原点），则会出现更一般的分布：

为什么不测试一下？

set.seed(347)
x <- rnorm(10000)
y <- rnorm(10000)
x2 <- rnorm(10000)
y2 <- rnorm(10000)

qdf <- data.frame(x,y,x2,y2)
qdf <- data.frame(qdf,(x-x2)^2+(y-y2)^2)
colnames(qdf)[5] <- "euclid" 

plot(c(x,y),c(x2,y2))
plot(qdf$euclid)
hist(qdf$euclid) 
plot(dentist(qdf$euclid))