声望魔术师悖论

机器算法验证 可能性
2022-03-26 05:34:09

您可能知道电影The Prestige中的技巧:

[电影剧透]一位魔术师发现了一个令人印象深刻的魔术:他进入一台机器,关上门,然后消失并重新出现在房间的另一边。但是这台机器并不完美:它不仅仅是传送他,而是复制了他。魔术师留在原地,并在房间的另一边创建了一个副本。然后,机器里的魔术师小心翼翼地掉进地板下的水箱里淹死了。编辑:魔法师的新副本被淹死的概率是 1/2(换句话说,新副本有 1/2 的机会被淹死,1/2 的机会弹出房间)。此外,水箱永远不会失效,掉进水箱的魔术师死亡的可能性是 1。

所以魔术师并不真正喜欢做这个把戏,因为“你永远不知道你会去哪里,在房间的另一边或者淹死”。

现在,悖论如下:想象魔术师做了 100 次魔术。他活下来的机会有多大?

编辑,附加问题:魔术师保留他的物理大脑而不拥有新大脑的机会有多大?


快速分析:一只手,一个魔法师活着,100个淹死的魔法师,所以他的几率是100分之一。

另一方面,他每完成一次动作,他就有 1/2 的机会活下来,所以他活下来的机会是(1/2)100=1/(2100)

什么是正确的反应,为什么?

3个回答

这个错误在 1654 年费马、帕斯卡和著名的法国数学家之间的书面对话中得到了证明,当时前两人正在考虑“点的问题”。 一个简单的例子是这样的:

两个人赌两个公平硬币的结果。如果任一翻转为正面,则玩家 A 获胜;否则,玩家 B 获胜。玩家 B 获胜的机会是多少?

错误的论点从检查一组可能的结果开始,我们可以列举出来:

  1. H:第一个翻转是正面。玩家 A 获胜。
  2. TH : 只有第二次翻转是正面。玩家 A 获胜。
  3. TT : 没有翻转是正面。玩家 B 获胜。

因为玩家 A 有两次获胜机会,而 B 只有一次机会,所以对 B 有利的赔率是(根据这个论点)1:2;也就是说,B 的机会是 1/3。法国科学院的创始成员Gilles Personne de Roberval为这一论点辩护。

今天的错误对我们来说是显而易见的,因为我们受到了从这次讨论中吸取教训的人的教育。费马认为(正确,但不是非常令人信服)案例(1)确实必须被视为两种情况,就好像游戏无论如何都是通过两次翻转来完成的。 调用一个实际上并没有完成的假设翻转序列让许多人感到不安。现在我们可能会发现只计算个别情况的概率更有说服力:(1)的机会是 1/2,(2)和(3)的机会各是 1/4,因此 A获胜等于 1/2 + 1/4 = 3/4,B 获胜的机会是 1/4。这些计算依赖于概率公理,这些公理最终在 20 世纪初得到解决,但基本上是由帕斯卡和费马在 1654 年秋天确立的,并在三年后由克里斯蒂安·惠更斯在他关于概率的简短论文中推广到整个欧洲(第曾经出版过),De ratiociniis in ludo aleae(在机会游戏中计算)。

目前的问题可以建模为 100 次掷硬币,正面代表死亡,反面代表生存。“百分之一”的论点(顺便说一句,实际上应该是 1/101)具有完全相同的缺陷。

一方面,有一个魔术师活着,100个淹死的魔术师,所以他的机会是百分之一。

这种推理隐含地假设每个魔术师都有可能在过程结束时幸存下来。但是,只有原版必须承受全部100次考验,他的胜算最差。将原始版本与创建的最后一个克隆进行对比;他只需要生存一次,他有二分之一的机会成为唯一的幸存者。

假设我们处理的是单场淘汰赛而不是克隆赛(比如每年三月著名的 NCAA 篮球赛)。原版必须持续 100 轮,而最后的克隆版只需参加锦标赛决赛。并非所有克隆​​都同样可能持续到最后,而原始克隆的的可能性最大。12100

他在每次试验中存活的概率为 1,他在每次试验中死亡的概率为 1(尽管水箱出现故障)。复制之后,就没有“他”了;有“他”。