$f(x)$在您的示例中描述概率密度而不是概率质量。一般来说，对于连续分布，事件（我们得到概率的事物）是值的范围，例如从到或从到的曲线下面积（尽管这些范围不必是连续的） . 对于连续分布，任何单个值出现的概率通常为 0。$a$$a+.1$$a$$b$

因为求和中的每一项都由无穷小的 d加权。通过仔细浏览一个非常基本的示例，可能最容易理解这一点的重要性。$x$

考虑使用黎曼求和来计算以下矩形区域下的面积（选择一个矩形来去除黎曼求和的近似方面，这不是这里的重点）： ] 我们可以使用 2 个子区域或使用 4 个子区域来计算面积. 在 2 个子区域（表示为）的情况下，面积由给出，而在 4 个子区域（表示为）的情况下，面积由两种情况下的总面积对应于 20一个微妙的重要问题是：为什么这两个答案一致$A_i$

$$A_1=A_2=5\times 2 = 10$$ $B_i$ $$B_1=B_2=B_3=B_4=5\times 1 = 5$$ $$\sum_{i=1}^2 A_i = \sum_{i=1}^4B_i = 20$$ ? 直觉上应该很清楚它是有效的，因为我们减少了第二组子区域的宽度。我们可以考虑用 8 个子区域做同样的事情，每个子区域的宽度为，然后再用 16 个......我们可以继续这个过程，直到我们有无限数量的子区域，每个子区域的宽度都很小 d。只要所有内容的权重始终正确，答案就应该始终一致。如果没有正确的加权，总和确实只是。$0.5$$x$$\infty$

这就是为什么我总是确保向学生指出，积分不仅仅是符号，而是符号对。$\int$$\int \text dx$

您以错误的方式解释概率分布 - 它是无限数量的无限分割概率，因此您不能说“从 (0, 1) 均匀分布中提取值 0.5 的概率”，因为该概率是零 - 您可以获得无限数量的可能值，并且所有这些值的可能性都相同，因此显然任何单个结果的概率是 ^[1]。$\frac{1}{\infty} = 0$

相反，您可以查看一系列结果的概率，并使用面积（以及积分）来衡量。例如，如果您从 (0, 1) 均匀分布中得出（对于和否则），那么概率您的结果介于和之间是$f(x) = 1$$x \in \left[0, 1\right]$$f(x) = 0$$0.2$$0.3$

$\int_{0.2}^{0.3} f(x)\ dx = \int_{0.2}^{0.3} 1\ dx = \left[x \right]_{0.2}^{0.3} = 0.3 - 0.2 = 0.1$

即，您有 10% 的机会获得该范围内的结果。

^[1]对我过度简化的计算让所有心脏病发作的人感到抱歉。

$f(x)$描述概率密度，单位为。因此，对于给定的 x，您会得到，，而不是您正在寻找的 p。如果你想要 p，你需要给定范围的分布函数，即 x 在 a 和 b 内的概率 p。$\frac{p}{x}$$f(x) = \frac{1}{b-a}$$\frac{p}{x}$

希望这是有道理的。