将第 1、3、5 次硬币第一次正面朝上的概率相加...

$p_o = 1/2 + 1/2^3 + 1/2^5 + ...$

• 这$1/2$术语很明显，它是第一次投掷正面的概率。

• 这$1/2^3$term 是在第三次投掷中第一次出现正面的概率，或序列 TTH。该序列的概率为$1/2 * 1/2 * 1/2$.

• 这$1/2^5$项是在第五次投掷中第一次出现正面的概率，或序列 TTTTH。该序列的概率为$1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2$.

现在我们可以将上面的系列重写为

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ...$

这是一个几何级数，总和为$2/3$. 展示这一点的最简单方法是使用视觉示例。从系列开始

$p = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...$

这是一个几何级数，总和为$1$.

如果我们只对该级数的偶数项求和，我们可以看到它们总和为$1/3$.

$1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... = 1/3$

如果你从整个序列中消除偶数项，你只剩下奇数项，它们必须加起来$2/3$.

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ... = 2/3$

递归思考——让$p_o$是奇数抛掷中第一个正面的概率，并让$p_e$是在偶数抛掷中第一个正面的概率。现在$p_o+p_e=1$, 我们也有$p_e$等于第一次抛尾次数的概率$p_o$. 因此$p_e = 1/2\cdot p_o$;$p_o+1/2\cdot p_o = 1$;$p_o = 2/3$.