首先，您可能想查看有关 Irwin-Hall 分布的 Wikipedia。

除非$n$非常小$A = \bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i,$在哪里 $X_i$是独立的$\mathsf{Unif}(\theta-.5,\theta+.5)$拥有$A \stackrel{aprx}{\sim}\mathsf{Norm}(\mu = \theta, \sigma = 1/\sqrt{12n}).$

[近似值非常适合$n \ge 10.$事实上，在计算的早期，除了疼痛算术之外，进行运算的成本很高，模拟标准正态随机变量的常用方法是评估$Z = \sum_{1=1}^{12} X_i - 6,$在哪里$X_i$生成为独立的标准制服。]

R中的以下模拟使用一百万个大小的样本$n = 12$和$\theta = 5.$

set.seed(2020)  # for reproducibility
m = 10^6;  n = 12;  th = 5
a = replicate(m, mean(runif(n, th-.5,th+.5)))
mean(a);  sd(a); 1/sqrt(12*n)
[1] 5.000153      # aprx 5
[1] 0.08339642    # aprx 1/12
[1] 0.08333333    # 1/12

因此均值和标准差与中心极限定理的结果一致。在 R 中，Shapiro-Wilk 正态性检验仅限于 5000 个观测值。我们展示了前 5000 个模拟样本均值的结果。这些观察结果符合正态分布。

shapiro.test(a[1:5000])

    Shapiro-Wilk normality test

data:  a[1:5000]
W = 0.99979, p-value = 0.9257

下面的直方图比较了模拟分布$\bar X$与PDF$\mathsf{Norm}(\mu=5, \sigma=1/12).$

hdr = "Simulated Dist'n of Means of Uniform Samples: n = 12"
hist(a, br=30, prob=T, col="skyblue2", main=hdr)
 curve(dnorm(x, 5, 1/sqrt(12*n)), add=T, lwd=2)
 abline(v=5+c(-1,1)*1.96/sqrt(12*n), col="red")

这表明

不，这不是统一的。直觉上，你会期望不确定性$\bar X$减少为$n$增加。中心极限定理也表明，如$n$增加，分布趋于正态分布。这意味着，你会有一个高峰$\theta$, 它会缩小为$n\rightarrow\infty$.

举一个简单的反例，如果$n=2$,$\bar X$将呈三角形分布，其中心在$\theta$，具有相同的限制。

Irwin-Hall 分布是总和的分布$n$均匀随机变量。因此，平均值的密度的解析表达式$n$均匀随机变量是

通过改变这个表达，你得到你的密度。

这是使用傅立叶变换得到简单解决方案的一种情况。你的密度函数是$\mathrm{rect}(\theta)$用它的傅里叶变换$\mathrm{sinc}(f)$（在哪里$\mathrm{sinc}(f)=\frac{\sin \pi f}{\pi f}$明显的延续$\mathrm{sinc}(0)=1$）。添加$n$具有该分布的变量导致对分布进行卷积$n$与自身的时间（除以$n$)，因此得到的分布具有傅里叶变换$\bigl(\mathrm{sinc}(f)\bigr)^n\over n$. 进行逆变换然后提供