这与物理学中称为费米-狄拉克分布的常见分布相同，它描述了一种称为费米-狄拉克统计的情况。在物理学的某个设定中，具有某种能量的粒子的平均数$\epsilon$是

$$\bar{n}_\epsilon = \frac{1}{e^{(\epsilon -\mu)/kT}+1}$$ 在哪里$\mu$,$k$， 和$T$是对您来说可能不太重要的物理参数（化学势、玻尔兹曼常数和温度）。将其重新解释为粒子能量的概率密度函数是微不足道的。

第一个的归一化常数应该是$\frac{1}{\ln(2)}$（并不是说它对当前问题真的很重要）。

我不知道有一个名字。第一个（没有$\log(2)$归一化常数）是截断逻辑分布的幸存者函数，但我没有看到它用于密度函数（尽管我希望它可能已经被多次命名......这通常是简单函数形式的情况，即没有被广泛使用，人们在没有遇到以前的想法的情况下“重新发明”这些东西，这些想法通常在不同的应用领域*）。

如果您要尝试命名它，那么由于逻辑类型的功能形式，您可能想在某处挤压“逻辑”一词，但困难在于选择一个能够充分区分它的名称物流密度。

* 并且 jwimberly 的回答提供了一个这样的应用领域。如果您在所从事的应用领域没有名字，那么“费米-狄拉克分布”这个名称似乎是一个完全合理的选择。

一个密度整合到统一$[0,\infty]$将会

$$f_X(x) = \frac {\theta}{\ln 2}\frac{1}{1+e^{\theta x}},\;\;\; \theta >0$$

原始时刻由

$$E(X^k) = \frac {(1-2^{-k})}{\ln 2} \frac {1}{\theta^{k}}\cdot \Gamma(k+1) \cdot \zeta(k+1)$$

在哪里$\Gamma()$是 Gamma 函数和$\zeta()$是黎曼 zeta 函数。所以

$$E(X) = \frac {\pi^2}{12\cdot \ln 2}\theta^{-1} \approx 1.1866 \cdot \theta^{-1}$$

$$E(X^2) \approx \frac {7.212}{4\cdot \ln 2}\theta^{-2} \approx 2.601 \cdot \theta^{-2}$$

导致

$$\text{Var}(X) \approx 1.193 \cdot \theta^{-2}$$

数值计算验证了这些。