如果你定义$O_1, O_2, \ldots, O_N$成为原始数据的排序版本$X_1, X_2, \ldots, X_N$，则中位数定义为：

$$\mathrm{Median}(\{O_1, O_2, \ldots, O_N\}) = \left\{\begin{array}{ll} O_{(N+1)/2} & \mathrm{if}~N~\mathrm{is~odd} \\ (O_{N/2}+O_{N/2+1})/2 & \mathrm{otherwise}\end{array}\right.$$

无需对数据进行排序，您可以使用几何中位数的定义来定义一维中位数：

$$\mathrm{Median}(\{X_1, X_2, \ldots, X_N\}) = \arg\min_{y} \sum_{i=1}^N \big|X_i-y\big|$$

请注意，当点数为偶数时，这不一定定义唯一的中位数；例如，任何数字优化目标。$y\in[3, 4]$$X = \{2, 3, 4, 5\}$

表示平均值的另一种方法是“最小二乘”估计：

$$\sum_{i=1}^N (X_i - m)^2$$

选择作为平均值会给出误差平方和的最小值。$m$

现在中位数可以表示为“最小绝对偏差”估计：

$$\sum_{i=1}^N |X_i - m|$$

选择作为中位数给出绝对误差总和的最小值。$m$

中位数是对应于半分位数的值，即一半的值更高，一半的值更低（请原谅我忽略了相等的情况或当集合是偶数时......）。这样假设数据集是已知的，那么累积分布很容易评估。注意这个函数，然后 $p_X$$X_1 \cdot X_n$$P_X$

$$median = P_X^{-1}(\frac 1 2)$$

以这篇评论论文中用于直方图均衡的方法中的角度为例。 左下图显示了一组自然图像中角度是累积分布，中位数是对应于值的值，在这种情况下约为。$p(\theta)$$P(\theta)$$\theta$$1/2$$0$