我们可以推导出分布$Y$分析地。首先，注意它是$Y|X$遵循均匀分布，即

$$f\left(y|x \right) = U(a, X)$$

所以

$$\begin{align} f(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y|x) f(x) dx & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} \frac{1}{b-a} dx \\ & = \frac{1}{b-a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} dx \\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \log(b-a)-\log(y-a) \right] ,\quad a<y<b \end{align}$$

这不是均匀分布，因为$\log(y-a)$. 这是模拟密度的样子$U(0,1)$分布，与我们刚刚计算的结果重叠。

y <- runif(1000, 0, runif(1000,0,1))
hist(y, prob =T)
curve( -log(x), add = TRUE, lwd = 2)

当然不。

为简单起见，让我们定义$a = 0, b = 1$.

然后

$P(Y > 0.5) = P(Y > 0.5 | X > 0.5)P(X > 0.5)$

$< P(X< 0.5) = 0.5$

由于严格的不等式，不可能$Y \sim$统一（0,1）。