The rule of three in statistics states that if an event is binomially  
distributed and does not occur with in n trials the maximum chance of it     
occurring is approximately 3/n. 

不，这不是它所说的。它表示实际发生概率的 95% 置信区间约为 [0, 3/n]。那不是一回事。区间中包含的“发生机会”的最大值确实是 3/n，尽管区间内的哪个值最有可能的问题没有得到解答。

规则说：'猜测真正发生的机会是 3/n 或更小，大约 5% 的时间你会错。

Suppose we have a roulette table with only two options, red or black. The 
chance of either of these occurring is clearly 1/2. 

确切地说，因此不需要置信区间，因为“发生的机会”是已知的。另一方面，您可以使用这样的轮子测试规则提供的近似区间的覆盖率。

Suppose, however, that we don't see black for 10 turns of the wheel. 
We would then reason that the chance of black occurring is at most 3/10,     
which is not true. Is this a misapplication of the rule? If so, why, and 
how does one determine when it is proper to apply it.

这是对置信区间概念的误用，置信区间用于限制未知事物的合理值范围，并且在任何特定应用中，如果真实值已知，则不需要包含真实值。

来自维基百科，“3 规则”的一个例子被描述为“例如，一种止痛药在 1500 名人类受试者身上进行了测试，没有记录到不良事件。从 3 规则，可以得出 95 500 人中不到 1 人（或 3/1500）会经历不良事件的信心百分比。”

下面的推导帮助我从另一个角度理解了“三法则”。

假设n = 1500，最坏的可能情况是在n = 1501时发现不良事件，即p_ = 1/1501（=0.000666）。

p_的标准误差（SE）可以计算为p_*（1-p_）/n（=0.000666）的平方根，可以近似为1/1500（=0.000667），即SE~1/ n.

假设 p_（真实 p 的观察值）具有以 p 为中心的正态分布，那么我们将有 97.8% 的置信度（单边上限为 2 SE），如果我们重复采样，真实 p 将小于 1/n + 2*SE = 1/n + 2/n = 3/n (= 0.002)。

如果用p_值（=1/1501）计算上界的值，结果是0.001998，非常接近0.002。