机器算法验证 - 如果E [X] = kE[X]=k和变量[ X] = 0Var[X]=0，是镨( X= k ) = 1Pr(X=k)=1? - 吾爱随笔录

如果E [X] = kE[X]=k和变量[ X] = 0Var[X]=0，是镨( X= k ) = 1Pr(X=k)=1?

机器算法验证可能性

2022-03-15 12:52:29

这不是家庭作业。

让 $X$ 是一个随机变量。如果 $\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$ 和 $\text{Var}[X] = 0$ , 是否遵循 $\Pr\left(X = k\right) = 1$ ?

直觉上，这似乎很明显，但我不确定我将如何证明它。我知道一个事实，从假设来看，它遵循 $\mathbb{E}[X^2] = k^2$ . 所以

{(\int_{R} x d F (x))}^{2} = \int_{R} x^{2} d F (x) .

$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$ 这似乎没有把我带到任何地方。我可以试试

Var [X] = E [{(X - k)}^{2}] .

$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$ 现在自从

{(X - k)}^{2} \geq 0

$\left(X - k\right)^2 \geq 0$ ，它遵循

E [{(X - k)}^{2}] \geq 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$ 也是。

但如果我要使用平等，

E [{(X - k)}^{2}] = 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$ 那么我的直觉是

{(X - k)}^{2} \equiv 0

$\left(X - k\right)^2 \equiv 0$ ，以便

X \equiv k

$X \equiv k$ .

我怎么会知道这个？我想一个矛盾的证明。

如果相反， $X \neq k$ 对全部 $X$ ，然后 $(X-k)^2 > 0$ ，和 $\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$ 对全部 $X$ . 我们有矛盾，所以 $X \equiv k$ .

我的证明是否合理——如果是，是否有更好的方法来证明这一说法？

3个回答

这是一个仅使用定义来补充其他证明的测度理论证明。我们在概率空间上工作 $(\Omega, \mathcal F, P)$ . 请注意 $Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$ 并考虑积分 $\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$ . 假设对于一些 $\epsilon>0$ ，那里存在 $A\in \mathcal F$ 这样 $Y>\epsilon$ 在 $A$ 和 $P(A)>0$ . 然后 $\epsilon I_A$ 近似值 $Y$ 从下面，所以按照标准定义 $\mathbb E Y$ 作为从下面逼近的简单函数的积分上项，

E Y \geq \int ϵ I_{A} P (d ω) = ϵ P (A) > 0,

$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$ 这是一个矛盾。因此，

\forall ϵ > 0

$\forall \epsilon>0$ ,

P ({ω : Y > ϵ}) = 0

$P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$ . 完毕。

用反证法证明这一点。根据方差的定义和您的假设，您有

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx,$

在哪里 $f$ 是概率密度 $X$ . 请注意，两者 $(x-k)^2$ 和 $f(x)$ 是非负的。

现在，如果 $P(X=k)<1$ ，然后

U := (R ∖ {k}) \cap f^{- 1} (] 0, \infty [)

$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big)$

度量值大于零，并且 $k\notin U$ . 但是之后

\int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$\int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

（一些 $\epsilon$ -style 参数可以包含在这里），因此

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x \geq \int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

和你的矛盾。

什么是 $X \equiv k$ ? 是不是一样 $X = k$ 作为？

预计到达时间：Iirc， $X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

无论如何，很明显

(X - E [X])^{2} \geq 0

$(X-E[X])^2 \ge 0$

认为

E [X - E [X])^{2}] = 0

$E[X-E[X])^2] = 0$

然后

(X - E [X])^{2} = 0 a.s.

$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{a.s.}$

我认为最后一步涉及概率的连续性......或者你做了什么（你是对的）。

还有切比雪夫不等式：

$\forall \epsilon > 0$ ,

P (| X - k | \geq ϵ) \leq \frac{0}{ϵ^{2}} = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$

P (| X - k | \geq ϵ) = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$

\to P (| X - k | < ϵ) = 1

$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$

又好好说话了。

顺便说一句，为什么会这样

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

在我看来，这 $LHS = k$ 尽管 $RHS = k^2$

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