如果您更喜欢博客文章格式，分层线性模型和 lmer是我写的一篇文章，其中包含随机斜率和截距的模拟。这是我使用的模拟代码：

rm(list = ls())
set.seed(2345)

N <- 30
unit.df <- data.frame(unit = c(1:N), a = rnorm(N))

head(unit.df, 3)
unit.df <-  within(unit.df, {
  E.alpha.given.a <-  1 - 0.15 * a
  E.beta.given.a <-  3 + 0.3 * a
})
head(unit.df, 3)

library(mvtnorm)
q = 0.2
r = 0.9
s = 0.5
cov.matrix <- matrix(c(q^2, r * q * s, r * q * s, s^2), nrow = 2,
                     byrow = TRUE)
random.effects <- rmvnorm(N, mean = c(0, 0), sigma = cov.matrix)
unit.df$alpha <- unit.df$E.alpha.given.a + random.effects[, 1]
unit.df$beta <- unit.df$E.beta.given.a + random.effects[, 2]
head(unit.df, 3)

J <- 30
M = J * N  #Total number of observations
x.grid = seq(-4, 4, by = 8/J)[0:30]

within.unit.df <-  data.frame(unit = sort(rep(c(1:N), J)), j = rep(c(1:J),
                              N), x =rep(x.grid, N))
flat.df = merge(unit.df, within.unit.df)

flat.df <-  within(flat.df, y <-  alpha + x * beta + 0.75 * rnorm(n = M))
simple.df <-  flat.df[, c("unit", "a", "x", "y")]
head(simple.df, 3)

library(lme4)
my.lmer <-  lmer(y ~ x + (1 + x | unit), data = simple.df)
cat("AIC =", AIC(my.lmer))
my.lmer <-  lmer(y ~ x + a + x * a + (1 + x | unit), data = simple.df)
summary(my.lmer)

这些数据完全是虚构的，我用来生成它的代码可以在这里找到。

我们的想法是，我们将在完成时测量glucose concentrations一组与这些运动员血液中的组成( ) 浓度相关的值。30 athletes15 racesamino acid AAAA

型号为：lmer(glucose ~ AAA + (1 + AAA | athletes)

有一个固定的效应斜率（葡萄糖~氨基酸A浓度）；但是，不同运动员之间的斜率也因 amean = 0和而异sd = 0.5，而不同运动员的截距在 周围散布随机0效应sd = 0.2。此外，同一运动员的截距和斜率为 0.8 之间存在相关性。

这些随机效果被添加到选择intercept = 1的固定效果中，并且slope = 2。

葡萄糖浓度的值计算为alpha + AAA * beta + 0.75 * rnorm(observations)，表示每个运动员的截距 (ie 1 + random effects changes in the intercept)氨基酸浓度，每个运动员的斜率 (ie ) ( )，我们将其设置为。$+$AAA $*$2 + random effect changes in slopes for each athlete$+$ noise$\epsilon$sd = 0.75

所以数据看起来像：

      athletes races      AAA   glucose
    1        1     1  51.79364 104.26708
    2        1     2  49.94477 101.72392
    3        1     3  45.29675  92.49860
    4        1     4  49.42087 100.53029
    5        1     5  45.92516  92.54637
    6        1     6  51.21132 103.97573
    ...

葡萄糖水平不切实际，但仍然...

摘要返回：

Random effects:
 Groups   Name        Variance Std.Dev. Corr
 athletes (Intercept) 0.006045 0.07775      
          AAA         0.204471 0.45218  1.00
 Residual             0.545651 0.73868      
Number of obs: 450, groups:  athletes, 30

Fixed effects:
             Estimate Std. Error        df t value Pr(>|t|)    
(Intercept)   1.31146    0.35845 401.90000   3.659 0.000287 ***
AAA           1.93785    0.08286  29.00000  23.386  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

随机效应相关性1代替0.8. 截距的sd = 2随机变化被解释为0.07775。运动员之间坡度随机变化的标准差0.5计算为0.45218。使用标准偏差设置的噪声0.75返回为0.73868。

固定效应的截距应该是1，我们得到了1.31146。对于斜率，它应该是2，估计是1.93785。

相当接近！