我正在阅读一些关于混合模型的信息，但我不确定所使用的术语以及它们如何组合在一起。Pinheiro 在他的书“S 和 S-Plus 中的混合效应模型”的第 62 页上描述了似然函数。

第二个方程的第一项被描述为的边际密度。$\mathbf{y_i}$$\mathbf{b_i}$

我一直在尝试为简单的随机效应模型生成这些对数似然 (ll)，因为我认为这将有助于我的理解，但我一定是误解了推导。

我尝试计算 ll 的示例。

示例模型

library(lme4)
model <- lmer(angle  ~ temp + (1|replicate), data=cake, REML=FALSE)

条件对数似然

我尝试计算该模型的条件对数似然：从 看来，我应该能够通过在预测处找到数据的密度来计算这一点单位/复制级别。$p(y_i \mid b_i, \beta, \sigma^2)$

sum(dnorm(cake$angle,
          predict(model), # predictions at replicate unit (XB + Zb) level
          sd=sigma(model),
          log=TRUE))
#[1] -801.6044

# Which seems to agree with
cAIC4::cAIC(model)$loglikelihood
# [1] -801.6044

# or should we really be using a multivariate normal density
# but doesn't make a difference as variance is \sigma^2 I_n
dmvnorm(cake$angle, predict(model), diag(sigma(model)^2,270, 270), log=TRUE)
#[1] -801.6044

边际对数似然

我尝试计算边际对数似然，lme4给出为

logLik(model)
#'log Lik.' -834.1132 (df=4)

采取与以前类似的方法，从 看来，我应该能够通过在人口水平的预测中找到数据的密度来计算这一点，但它不接近。$p(y_i \mid \beta, \theta, \sigma^2)$

sum(dnorm(cake$angle,
          predict(model, re.form=NA), # predictions at population (XB) level
          sd=sigma(model),
          log=TRUE))
# [1] -1019.202

所以也许我需要使用第二个等式并且需要使用y的条件模型和b的边际，但仍然没有接近。

sum(
  dnorm(cake$angle, predict(model), sd=sigma(model), log=TRUE) , # conditional
  dnorm(0,  ranef(model)$replicate[[1]], # RE predictions
            sd=sqrt(VarCorr(model)$replicate), log=TRUE) 
  ) 
# [1] -849.6086

编辑：接下来去...

对于线性混合模型，和我认为似然计算的方差应该估计为var(Y) =，但又错了！$Y = X\beta + Zb + \epsilon$$b_i \sim N(0, \psi)$$e_i \sim N(0, \Sigma)$$Z\psi Z^T + \Sigma$

所以在代码中

z = getME(model, "Z")
zt =  getME(model, "Zt")
psi = bdiag(replicate(15, VarCorr(model)$replicate, simplify=FALSE))

betw = z%*%psi%*%zt
err = Diagonal(270, sigma(model)^2)
v = betw + err

sum(dnorm(cake$angle,
      predict(model, re.form=NA), 
      sd=sqrt(diag(v)),
      log=TRUE))
# [1] -935.652

我的问题：

• 你能告诉我在计算边际可能性时哪里出错了。我真的不需要代码来重现 ll，而是更多地描述为什么我尝试的方法不起作用。

非常感谢。

PS。我确实查看了生成这些值的函数，lme4:::logLik.merMod并lme4:::devCrit看到作者使用了一些困难/技术方法，这再次导致我需要帮助，为什么我的方法是错误的。