我认为这个问题没有封闭形式的解决方案。（我有兴趣被证明是错误的。）我假设你需要模拟。并希望您的预测后验不会被错误指定得太糟糕。

万一有趣，我们写了一篇小论文（另见此演示文稿），解释了如何通过滚动标准六面骰子来最小化百分比误差会导致预测偏差。我们还研究了 MAPE 和 wMAPE 的各种风格，但在这里让我们专注于 sMAPE。

六面骰子次来模拟“销售”，并绘制平均 sMAPE 以及逐点分位数：$n=8$$N=1,000$

fcst <- seq(1,6,by=.01)
n.sims <- 1000
n.sales <- 10
confidence <- .8
result.smape <- matrix(nrow=n.sims,ncol=length(fcst))
set.seed(2011)
for ( jj in 1:n.sims ) {
  sales <- sample(seq(1,6),size=n.sales,replace=TRUE)
  for ( ii in 1:length(fcst) ) {
    result.smape[jj,ii] <-
      2*mean(abs(sales-rep(fcst[ii],n.sales))/(sales+rep(fcst[ii],n.sales)))
  }
}

（请注意，我正在使用将分母除以 2 的替代 sMAPE 公式。）

plot(sales,type="o",ylab="",xlab="",pch=21,bg="black",ylim=c(1,6),
  main=paste("Sales:",n.sales,"throws of a six-sided die"))
plot(fcst,fcst,type="n",ylab="sMAPE",xlab="Forecast",ylim=c(0.3,1.1))
polygon(c(fcst,rev(fcst)),c(
    apply(result.smape,2,quantile,probs=(1-confidence)/2),
    rev(apply(result.smape,2,quantile,probs=1-(1-confidence)/2))),
  density=10,angle=45)
lines(fcst,apply(result.smape,2,mean))
legend(x="topright",inset=.02,col="black",lwd=1,legend="sMAPE")

这些方面的内容可能对您的情况有所帮助。（再次，您需要假设您的后验预测分布“足够正确”以进行这种模拟 - 但您也需要假设对于任何其他方法，所以这只是增加了一般性警告，而不是具体问题。）

在这个滚动标准六面骰子的简单示例中，我们实际上可以计算并绘制作为预测函数的预期 s(M)APE：

expected.sape <- function ( fcst ) sum(abs(fcst-seq(1,6))/(seq(1,6)+fcst))/3
plot(fcst,mapply(expected.sape,fcst),type="l",xlab="Forecast",ylab="Expected sAPE")

这与上面的模拟平均值相当吻合。它很好地表明，滚动标准六面模具的 EsAPE 最小预测是有偏的 4，而不是 3.5 的无偏期望。

另一个有趣的事实：如果您的预测分布是具有预测参数的泊松，那么最小化预期 sAPE 的预测是的具体值无关。$\hat{\lambda}<1$$\hat{y}=1$$\hat{\lambda}$

至少这是在Seaman & Bowman 的脚注 1 中声称的（印刷中，IJF，对 M5 预测竞赛的评论），没有证据。很容易看出 EsAPE 最小预测满足（您只需证明任何替代预测都会导致更大的 EsAPE）。证明将导致比更大的 EsAPE似乎有点乏味。然而，模拟看起来让人放心。$\hat{y}\geq 1$$\hat{y}'<1$$\hat{y}'>1$$\hat{y}=1$