我们不能（线性）在 0.3413 和 0.4772 之间进行插值的原因是因为正态分布的 pdf 不均匀（在单个值处平坦）。

考虑这个更简单的例子，我们可以使用几何来查找区域。

地块的总面积是1（它是一个对角线切割的正方形，两个部分重新排列成一个三角形）。使用Base*Height/2我们可以发现，区域 A 的面积是0.5，区域 B 和 C 的总面积也是0.5。

但是 B 和 C 的面积不相等。区域 C 的面积是0.5*0.5/2 = 0.125，因此区域 B 的面积是0.375。因此，即使区域 B 和 C 沿 x 轴的宽度相同，但由于高度不是恒定的，它们具有不同的面积。

您在练习中处理的正态分布与此类似，但高度函数更复杂，而不是简单的三角形。因此，两个值之间的区域不能简单地解决 - 因此使用 Z 分数和表格来查找概率。

只是为了提供关于同一主题的不同插图......

在您的初始计算中，您会将正态曲线视为均匀分布，在这种情况下，您的初始方法将是下图中双阴影矩形的正确数学计算（具有不同的实际值），仅仅是因为您将能够将区域表示为轴距离的简单线性相关性：$x$

$A_{1.5\,SD} =\large\frac{A_{2\,SD} - A_{1\,SD}}{2} = \small height * \large\frac{X_{2\,SD} - X_{1\,SD}}{2}$

但是您想计算高斯分布曲线下的斜阴影面积，如前所述，即使分布是三角形的$x$

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高斯分布的公式为：

其中 sigma = 标准偏差和 mu = 平均值

（从维基百科偷来的）

当您要求该区域时，您是在指定范围内集成此功能。这个积分没有“封闭形式”的解决方案：没有办法使用“正常”数学函数（如阶乘、乘法、取幂、根等）得出一个等于该积分的表达式。

就像对数或三角函数一样：您不能使用其他代数函数为它们生成封闭形式的方程（您可以使用无限级数，但这不是“封闭的”）。因此，当您需要实际计算时，您可以使用表格（如果您感觉复古，或者计算器，它只是在幕后为您使用嵌入在其处理器中的表格作为起点）。

事实上，与对数的并列非常贴切：也可以用积分来定义对数，即 ln(x) = (1/x) 从 0 到 x 的积分。

在几何上.4772 - .3413， 表示图形下方介于 1 个标准差和 2 个标准差之间的区域。如果您将此区域水平分割一半，分割左侧的部分将是 1 到 1.5 个标准差之间的区域，如您所愿。到目前为止还好。

但是，当您使用时，(.4772 - .3413) / 2您将获得一半的区域，但不一定是您要寻找的区域，即水平方向一半的区域。有了这张图，分割的左边部分不是区域的一半——这条线向下倾斜（从左上角到右下角），所以左边的空间比右边的空间大。如果此图是一条水平直线，那么您要分割的区域将是一个矩形，而一半的区域实际上将是一半。