正如@RUser4512 的回答所示，不相关的随机变量不能线性相关。但是，几乎不相关的随机变量可以是线性相关的，其中一个例子是统计学家心中所珍视的东西。

假设$\{X_i\}_{i=1}^K$是一组$K$具有共同均值的不相关单位方差随机变量$\mu$. 定义 $Y_i = X_i - \bar{X}$在哪里$\bar{X} = \frac 1K \sum_{i=1}^K X_i$. 然后，$Y_i$是零均值随机变量，使得 $\sum_{i=1}^K Y_i = 0$，也就是说，它们是线性相关的。现在，

$$Y_i = \frac{K-1}{K} X_i - \frac 1K\sum_{j \neq i}X_j$$ 以便 $$\operatorname{var}(Y_i) = \left(\frac{K-1}{K}\right)^2+\frac{K-1}{K^2} = \frac{K-1}{K}$$ 尽管 $$\operatorname{cov}(Y_i,Y_j) = -2\left(\frac{K-1}{K}\right)\frac 1K + \frac{K-2}{K^2}= \frac{-1}{K}$$ 表明$Y_i$是具有相关系数的几乎不相关的随机变量$\displaystyle -\frac{1}{K-1}$.

另请参阅我的这个较早的答案 。

不。

假设其中一个$a_i$非零。不失一般性，假设$a_1=1$.

为了$K=2$， 这意味着$x_1=-a_2x_2$和$cor(x_1,x_2)=-1$. 但这种相关性为零。$a_1$也必须为零，这与线性关系的存在相矛盾。

对于任何$K$,$x_1=-\sum_{i>1}a_ix_i$和$cor(x_1,x_k)=-1$. 但是，根据你的假设，$cor(x_1,x_k)=0$. 这$a_i$的为零（对于$i>1$) 所以必须是$a_1$.

这可能有点作弊，但如果我们将“不相关”定义为协方差为 0，答案是肯定的。让$X$和$Y$两者都为零，概率为 1。然后

$\mathop{\mathrm{Cov}}(X,Y)= \mathop{\mathrm{E}}(XY)-\mathop{\mathrm{E}}(X)\mathop{\mathrm{E}}(Y)=0-0=0$

尽管$X+Y=0$， 所以$X$和$Y$是线性相关的（根据您的定义）。

虽然如果您要求定义相关性，即两者的方差$X$和$Y$是严格肯定的，不可能找到满足您标准的变量（请参阅其他答案）。