波动率预测的重点是预测完整的预测密度。例如，您可能假设一个均值为 0 的正常未来密度，并预测一个自由参数，它恰好是方差。或者使用一些非参数方法。

评估预测密度的选择方法是适当的评分规则。我们有一个计分规则标签。它的标签 wiki包含一些指向文学的指针。

举个例子，我随机挑选了本期International Journal of Forecasting上的第一篇相关文章，恰好是Catania & Proietti (2020, IJF )的《Forecastingvolatility with time-varying杠杆和波动率效应的波动率》 . 他们使用连续排名概率分数（CRPS），这是一种非常常用的正确评分规则。

谈到总体上评估波动率预测（具体不是 GARCH），我将提到 Stephan Kolassa 答案的替代方案。

还可以研究统计或分布“属性”的适当评分规则；这个区域有时被称为启发。在那里，人们可以提出以下问题：是否有一个“适当的”评分规则使用样本评估随机变量方差的？这里的正确概念应该是当是真实方差时，期望得分最大化。$S(v, y)$$v$$y$$v$

事实证明，答案是否定的。但是，有一个窍门。平均值肯定有这样的评分规则，例如。由此可见，第二个时刻（不居中）有一个评分规则，例如。$S(u, y) = - (u - y)^2$$S(w, y) = - (w - y^2)^2$

因此，为了以无偏的方式评估方差预测，在这种情况下，只需查询两个参数的预测，即确定方差的第一个和第二个矩。换句话说，实际上没有必要生成和评估完整的分布。（这基本上是您的建议：我们首先评估条件均值，然后粗略地评估残差。）

当然，除了方差之外，还有其他衡量波动性的方法，并且研究了它们是否“直接可引出”（即存在引出它们的适当评分规则），或者，如果不是，它们的“引出复杂性”（即必须有多少参数从基础分布中提取以对其进行评估）。研究的一个地方是金融中的风险度量。所研究的统计数据包括期望值、风险价值和条件风险价值。

Gneiting, Making and Evaluating Point Forecasts , Journal of the American Statistical Association (2011) 中有一些一般性讨论。https://arxiv.org/abs/0912.0902。引出复杂性在 Frongillo 和 Kash，向量值属性引出，学习理论会议（COLT，2015）中进行了研究。http://proceedings.mlr.press/v40/Frongillo15.html

也许让事情尽可能简单是 shenflow 所寻找的。所以：

但是我们如何正确评估 ARCH/GARCH 预测呢？

情况与条件均值情况（如 ARMA）没有太大区别。诀窍是您必须关心您尝试预测的内容。

例如，对于财务回报 ( )，通常将波动性识别为平方回报，例如。现在，像 ARCH/GARCH 这样的模型为您提供条件方差的规范：$r_t$$r_t^2$$V[r_t|r_{t-1},…, r_{t-p}]$

例如在 ARCH(1) 情况下，我们有 $V[r_t|r_{t-1}]= \omega + \alpha_1 r_{t-1}^2$

然后为了评估预测准确性，您必须将条件方差（波动率预测）与平方收益（观察到的波动率）进行比较。然后，对于准确性评估，均方损失很常见。在 ARCH(1) 案例中：

$MSE [r_t^2 - (\omega + \alpha_1 r_{t-1}^2)]$对于一些$t$

请注意，在此示例后面，假设条件均值为零。否则，即使想法没有那么不同，二阶矩和方差也不重合，事情变得更加复杂。$r_t$