机器算法验证 - 封闭式E [ln( 1 - p ) ]E[ln⁡(1−p)], 对于p ∼ B e t a ( α , β)p∼Beta(α,β) - 吾爱随笔录

机器算法验证可能性分布贝塔分布

2022-03-22 06:43:28

我们知道如果，则其中是 Digamma 函数。有简单的形式吗？ $p \sim Beta(\alpha, \beta)$

E [\ln p] = ψ (α) - ψ (α + β)

$\mathbb{E}[\ln p] = \psi(\alpha) - \psi(\alpha + \beta)$

ψ (.)

$\psi(.)$

E [\ln (1 - p)]

$\mathbb{E}[\ln (1-p)]$

1个回答

表示通过 beta 分布的对称性，使用你问题中的恒等式，我们有

1 - p = q

$1-p = q$

q \sim Beta (β, α)

$q \sim \text{Beta}(\beta, \alpha)$

E [\ln (1 - p)] = E [\ln q] = ψ (β) - ψ (α + β)

$\mathbb{E}[\ln (1-p)]=\mathbb{E}[\ln q]=\psi(\beta)-\psi(\alpha+\beta)$

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