由于您听起来好像对积分做的不多，因此我将以非常基本（并且略显手波）的方式讨论这个问题，以传达所发生的事情。但是，您可能希望从提醒开始，查看 Stieltjes 积分的定义，例如Mathworld或Wikipedia。正确地进行积分涉及考虑定义中的限制，并且在其他情况不明显的情况下，这确实是您需要做的。

如果分布是纯离散的，那么$dF$是 0，除了在跳跃处，它所在的地方$p(x)$- 所以对于离散情况，积分实际上是通常的总和。

举个例子，考虑一个伯努利（0.4）。

所以对于这个例子，$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}\,x\,dF = \sum_x x\,p(x)$. （这不仅仅是“它们的价值相等”，而是“那些东西是表达同一事物的不同方式”；我可能应该使用更合适的符号。）

所以在这里$dF$是$0$无处不在，但在$x=0$（在哪里$dF$是$0.6$） 和$x=1$（它在哪里$0.4$）。所以这个表达式只是$0\cdot 0.6 + 1 \cdot 0.4$.

虽然统一离散和连续公式很简洁，但我并不真正想到它的大部分价值。我认为它更有价值，因为它适用于既没有离散随机变量也没有连续随机变量的情况——在很多情况下，你会遇到实际数据，所以这不是一些深奥的理论问题。拥有可以平滑地处理那些“既不离散也不连续”的情况以及同时处理离散和连续的特殊情况的符号，这就是有一些真正好处的地方。

举一个很好的简单案例，例如，给定月份和位置的每日降雨量分布，可能建模为以下概率的混合$0.6$零雨，非零雨量为对数正态$(\mu,\sigma^2)$（在哪里$\mu=1.384$，和$\sigma=1.823$)（可能被称为“零膨胀对数正态”模型）

那么在这种情况下，一个积分，例如期望的积分，$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x \, dF$可以很容易地处理，因为它在跳跃之前和跳跃时就像离散定义一样工作（只添加$x.p(x)$在跳跃处，结果是添加$0$到积分，因为所有$0.6$概率在$x=0$) 然后在这种情况下，上面的任何地方$0$（因为这个函数足够好，Stieltjes 和普通的黎曼是一样的）其余的就像一个黎曼积分$x\cdot f(x)$多于$0$，只要我们记住$dF$小于对数正态（以上$0$你可以看到$F$相对于纯对数正态 cdf 被“压扁”），准确地考虑了概率（$0.4$)的超过$0$这里。

当然，这不仅仅适用于$g(x)=x$; 我只是举一些简单的案例来展示一下正在发生的事情。（whuber 在评论中指出了一个很好的例子，他对一个非简单问题进行了 MGF 计算，其中分布最终成为混合分布）

即使只有这些非常好的函数（你可以像黎曼一样对待它们，它们是连续的，这是 Stieltjes 涵盖的案例的一个子集），在这种混合中存在无限的案例（而不仅仅是“离散”或“连续” ) 可以通过这个符号来处理。

Advanced Theory of Statistics（Kendall 和 Stuart——或者在最近的版本中，Stuart 和 Ord）是一个有用的参考，它广泛使用这个积分来显示或讨论各种结果。不要让标题吓到你，这是一本非常易读的书。

因此，如果您（例如）在查看 Chebyshev 不等式的同时使用积分，您不仅仅是在同时进行离散情况和连续情况......您正在涵盖 Stieltjes 积分适用于的任何分布- 所以如果你想知道切比雪夫会发生什么，如果你有一个分布，比如降雨一，瞧，这一切都由同样的发展来处理。如果明天，你的朋友出现了一个零一膨胀的测试版，那么你也已经涵盖了。等等 ...

[如果您遇到无法立即了解积分含义的情况，请返回定义并遵循它。]

（这个很好的积分可以用能够处理更广泛情况的东西代替——出于统计目的，通常是Lebesgue或Lesbesgue-Stieltjes积分）