这是Jensen 不等式的另一个例证

$$\mathbb E[\log X] < \log \mathbb E[X]$$ （因为函数$x\mapsto \log(x)$是严格凹的] 并且具有更一般的（反）性质，即当变换不是线性的（加上一些奇异的情况）时，变换的期望不是期望的变换。（然而，我的大多数本科生都坚信神奇的身份$\mathbb E[h(X)] = h(\mathbb E[X])$如果我只从他们的期末试卷中出现这种平等的频率来判断的话。）

考虑对称放置在周围的两个值，例如和或和。他们的日志不是对称的。比离更远。因此，当您平均它们时，您会得到小于的东西。$0.5$$0.4$$0.6$$0.25$$0.75$$\log(0.5)$$\log(0.5-\epsilon)$$\log(0.5)$$\log(0.5+\epsilon)$$\log(0.5)$

类似地，如果你在这些对称放置的值对的集合周围采取一个很小的间隔，你仍然会得到每对日志的平均值低于 ...并且从那个观察中转移是一件简单的事情对日志的期望的定义。$\log(0.5)$

实际上，通常，除非是线性的$E(t(X))\neq t(E(X))$$t$

值得注意的是，如果$X \sim \operatorname{Uniform}(0,1)$， 然后$-\log X \sim \operatorname{Exponential}(\lambda = 1)$， 以便$\operatorname{E}[\log X] = -1$. 明确地说，

$$f_X(x) = \mathbb 1(0 < x < 1) = \begin{cases} 1, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$ 暗示 $$Y = g(X) = -\log X$$ 有密度 $$\begin{align*} f_Y(y) &= f_X(g^{-1}(y)) \left|\frac{dg^{-1}}{dy}\right| \\ &= \mathbb 1 \left( 0 < e^{-y} < 1 \right) \left| - e^{-y} \right| \\ &= e^{-y} \mathbb 1 (0 < y < \infty) \\ &= \begin{cases} e^{-y}, & y > 0 \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases} \end{align*}$$ 因此$Y \sim \operatorname{Exponential}(\lambda = 1)$它的意思是$1$. 这提供了一种非常方便的方法来生成指数分布的随机变量，通过对上的均匀随机变量进行对数变换$(0,1)$.

请注意，转换后的统一变量的平均值只是在域上进行转换的函数的平均值（因为我们期望每个值都被平等地选择）。这很简单，

$$\frac{1}{b-a}\int_a^b{t(x)}dx = \int_0^1{t(x)}dx$$

例如（在 R 中）：

$$\int_0^1{log(x)}dx = (1\cdot log(1)-1) - 0 = 0-1 =-1$$

mean(log(runif(1e6)))
[1] -1.000016
integrate(function(x) log(x), 0, 1)
-1 with absolute error < 1.1e-15

$$\int_0^1{x^2}dx = \frac{1}{3}(1^3-0^3) = \frac{1}{3}$$

mean(runif(1e6)^2)
[1] 0.3334427
integrate(function(x) (x)^2, 0, 1)
0.3333333 with absolute error < 3.7e-15

$$\int_0^1{e^x}dx = e^1-e^0 = e-1$$

mean(exp(runif(1e6)))
[1] 1.718425
integrate(function(x) exp(x), 0, 1)
1.718282 with absolute error < 1.9e-14
exp(1)-1
[1] 1.718282