您的交叉分类中存在多少变量将决定您的 -测试的自由度。在您的情况下，您实际上是在 2×3 表中对两个变量（期间和国家/地区）进行交叉分类。$\chi^2$

因此自由度为（参见例如Pearson 的卡方检验以证明其计算的合理性）。我看不到您在第一个公式中得到的位置，并且您的预期频率不正确，除非我误解了您的数据集。$(2-1)\times (3-1)=2$$6$

R中的快速检查给了我：

> my.tab <- matrix(c(100, 59, 150, 160, 20, 50), nc=3)
> my.tab
     [,1] [,2] [,3]
[1,]  100  150   20
[2,]   59  160   50
> chisq.test(my.tab)

    Pearson's Chi-squared test

data:  my.tab 
X-squared = 23.7503, df = 2, p-value = 6.961e-06

> chisq.test(my.tab)$expected
        [,1]     [,2]     [,3]
[1,] 79.6475 155.2876 35.06494
[2,] 79.3525 154.7124 34.93506

自由度为 (r-1)(c-1)。

你有

2 行：1900-1950 和 1950-1999

3列：CountryI CountryII CountryIII

因此 (2-1)(3-1) = 2

rxc 的实际乘积应该 = n（观察总数），即 6。但是，这不会用于计算 df。

编辑：如果您正在执行“拟合优度”，那么是的，它将是 n-1，但您有一个列联表 (rxc)，其中 r 或 c 不等于 1，因此您必须使用 (r-1)( c-1)

编辑#2为dimbo（我无法评论）：预期值应通过（行总数）（列总数）/（观察总数）计算：因此r1，c1位置的预期值为（270）（159） / (539) 它给出了 chi 给你的值。

编辑#：SAS 代码确认 Chi

data question;
 do a=1 to 2;
   do b=1 to 3;
     input var @@;
     output;
   end;
  end;
datalines;
100 150 20
59  160 50
;
run;

proc freq data = question;
weight var;
tables a*b /
 chisq expected norow nocol;
run;

输出

      Frequency|
      Expected |
      Percent  |       1|       2|       3|  Total
       --------+--------+--------+--------+
             1 |    100 |    150 |     20 |    270
               | 79.647 | 155.29 | 35.065 |
               |  18.55 |  27.83 |   3.71 |  50.09
      ---------+--------+--------+--------+
             2 |     59 |    160 |     50 |    269
               | 79.353 | 154.71 | 34.935 |
               |  10.95 |  29.68 |   9.28 |  49.91
      ---------+--------+--------+--------+
      Total         159      310       70      539
                  29.50    57.51    12.99   100.00


  Statistics for Table of a by b

  Statistic                     DF       Value      Prob
  ------------------------------------------------------
  Chi-Square                     2     23.7503    <.0001
  Likelihood Ratio Chi-Square    2     24.2964    <.0001
  Mantel-Haenszel Chi-Square     1     23.3700    <.0001
  Chi Coefficient                       0.2099
  Contingency Coefficient               0.2054
  Cramer's V                            0.2099

                                                  Sample Size = 539

等一下，我认为 Sandra 的意思是 5 而不是 6。

也许 chl 可以在这方面纠正我……但我认为这应该是仪式。如果我们采用的定义如下，$\chi^2$

并将数据排列如下：

Observed[O]| Expected[E] | (O-E)^2/E
100          118.4         
150           52
 20           40
 59           80.5
160           90
 50           25

的项总数为 6（因为我们将最后一列项相加，共有 6 行。根据定义，我们有 df= 行数或预期频率 - 1。因此我们获得5。$\chi^2$

列联表中卡方检验的自由度由独立估计的“预期观察值”的数量决定。在您的 2x3 表中，由于行和列总计已知，因此您只需使用公式（行总计）*（列总计）/N 估计两个预期观察值。剩余的预期观察值可以通过从行或列总数中减去来找到。例如，如果您估计第一行的前两个观测值，则可以找到第一行的第三个观测值，即从第一行总数中减去这两个估计的观测值，一旦知道第一行，您就可以轻松找到第二行的预期观测值因为列总数也是已知的。