这里有一个微妙的问题，在关于估计的采样分布的标准偏差的问题中没有提到。$\overline{x}$

和方差的总体的样本。当已知时，正是样本均值的标准差。在实践中，您通常不知道，因此您改为插入样本方差以使用来估计的标准差。这种区别实际上很重要——当方差未知时，必须将这种额外的不确定性纳入假设检验$\mu$$\sigma^2$$\sigma^2$

$${\rm SE}(\overline{x}) = \sigma/\sqrt{n}$$ $\sigma^2$$\hat\sigma$ $${\rm SE}(\overline{x}) = \hat\sigma/\sqrt{n}$$ $\overline{x}$. 这就是为什么即使样本是正态分布的，未知分布（尾部较长）而不是正态分布。$t$$\sigma$

是否正确地说遵循任何人口的正态分布（不仅仅是正态分布），只要样本大小在大小上是显着的（通过中心极限定理）$t=(\overline{x}−μ)/SE(\overline{x})$

这几乎是正确的。对于这种情况，总体必须具有有限的方差（即没有“太长”的尾巴）。即使总体确实具有有限的方差，总体分布也会对 CLT “开始”之前的时间产生很大影响。对于较短的尾分布，这种收敛速度更快。对于长尾分布，它可能需要相当长的时间（例如，请参阅我的示例here）。

请注意，由于我们在这里讨论的是“大样本”结果，因此无论您是否知道 ，这都是正确的，因为随着样本量的增加，越来越接近真实的$\sigma$$\hat \sigma$$\sigma$

而且，当样本量较小时，t 遵循 t 分布是否正确，但只有当总体服从正态分布时，总体才正确，因为中心极限定理不适用？

同样，假设我们处于“未知”世界中，当样本呈正态分布时，仅遵循分布，我认为这就是您在这里所说的。与我一开始所说的相关，如果已知，那么将具有（精确）正态分布。$\sigma$$t$$t$$\sigma$$t$

总结一下：

• 如果已知，并且总体呈正态分布：$\sigma$ 具有正态分布。$t$

• 如果未知，并且总体呈正态分布：$\sigma$ 具有分布。$t$$t$

• 如果总体不是正态分布但满足 CLT 的正则性要求： 是否已知，都具有近似正态分布。也就是说，随着样本量的增加，的分布会收敛到正态分布。$t$$\sigma$$t$

当从正态分布采样时，平均值的标准误差不会与卡方分布相关，而不是正态分布。当真实均值为零且数据呈正态分布时，由样本标准误差归一化的样本均值近似于 CLT正态分布。