圆半径圆的面积$l$等于$\pi l^2$. 这意味着四分之一的圆有面积$l^2\pi/4$. 这意味着边为圆半径的正方形为$area=l^2$.

这意味着四分之一圆的面积与正方形的面积之比为$\pi/4$.

一个点 $(x,y)$如果在广场上$0<x<1, 0<y<1$. 如果它在四分之一圆内 $0<x<1, 0<y<1 ,x^2+y^2<1$.

你的积分是如此$∬I((x^2+y^2)<1)P(x,y)= ∬I((x^2+y^2)<1) I(0<x<1)I(0<y<1)$这正是四分之一圆所描述的区域

最简单的直观解释依赖于理解$E(I(A)) = P(A)$. 因此，$\int \int I(x^2+y^2 < 1)dxdy = P(x^2 + y^2 < 1)$. 一旦你意识到双整数只是一个概率，你应该可以直观地采样$x$和$y$从单位平方并计算抽奖的比例$x^2 + y^2 <1$.

也许您理解中缺少的另一条直觉是面积和概率之间的联系。由于整个单位正方形的面积为 1 并且点$(x,y)$均匀分布在正方形内，任意区域的面积$A$在单位正方形内将对应于随机选择的点在$A$.

我登陆了这个冲浪简历，我看到 Monte Carlo 的代码是 Octave。我碰巧在 R 中有一个模拟，它提出了推导数字的想法$\pi$作为双变量均匀分布$[0,1]$OP中积分约束下的平面非常直观：

假设四分之一圆被包围在 1 个单位的正方形中，则面积为$\pi/4$. 所以在正方形中生成均匀分布的点$(x,y)$最终将铺满整个正方形，并计算满足的分数$1 < \sqrt{(x^2+y^2)}$就等于整合$∬\textbf{1}((x^2+y^2)<1) \,\textbf{1}(0<x<1)\,\textbf{1}(0<y<1)$因为我们只是选择圆内相对于单位正方形的点的分数：

x <- runif(1e4); y <- runif(1e4)
radius <- sqrt(x^2 + y^2)
# Selecting those values within the circle is obtained with radius[radius < 1]:
(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4     =    3.1272

我们可以在 10,000 次绘制中绘制落在半径内的值：

我们自然可以通过选择更多的点来获得越来越接近的近似值。有了 100 万分，我们得到：

(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4 [1] 3.141644

一个非常近似的结果。这是情节：